EXERCICES
1) Soit r un cane convexe ferme saillant dans Rn. Montrer que
l'application (x, y) - x + y de l? x l? dans r est propre. E n deduire
que deux mesures sur l? sont toujours convolables pour l'application
(x, Y) - x f Y.
2) Soient G un groupe localement compact et J? l'espace compact
obtenu par adjonction à G d'un point à l'infini o. On prolonge la loi
de composition de G à I' en posant xw = wx = w pour tout x E P.
A toute mesure y sur l? correspond, d'une part une mesure bornée
pi sur G, d'autre part le nombre complexe y((o)). Montrer que, si on
désigne par + (resp. 2) la convolution définie par la multiplication dans
quelles que soient les mesures y e t v sur r.
1) Soit (G&I une famille de groupes localement compacts, tous
compacts sauf un nombre fini. Soit U, une représentation linéaire continue de G, dans un espace localement convexe E l . Pour tout s =
(s,) E G = n G, , soit U(s) l'endomorphisme (x,) -+ (U,(s)r,) de E =
fl E L . ~ o A t r e r
que U est une représentation linéaire continue de G dans
L
E. Soit E r la somme directe topologique des E L . Soit V(s) la restriction
de U(s) à E'. Montrer que V est une reprdsentation linéaire continue
de G dans E'.
2) Soit U, (resp. U,) une représentation linéaire continue d'un
groupe localement compact G (resp. H) dans un espace localement
convexe E (resp. F). Pour u E P ( E ; F), x e G, y e H, posons
V(x, y). u = U,(y) O u O U,(x).