il en sera de même de la restriction de cette application à I ' ,
(avec les notations du no 1, prop. 2) qui est bijective ; mais
comme I ' , est compact et la topologie . T séparée, l'application
a -+ H, de I ' , dans I; sera alors un homéomorphisme.
Soient donc cc, un point de I' et @ un filtre sur r qui converge vers a, ; il s'agit de montrer que, suivant @, Ha tend vers
H,, pour la topologie Y. Soient K une partie compacte de G,
V un voisinage compact symétrique de e dans G ; pour tout
x E Ha, n K, il existe un ensemble M(x) E @ tel que pour toute
a E M(x), on ait Vx I I Ha # % (no 1, lemme 2), d'où Vx c V2Ha ;
recouvrant Hu, n K par un nombre fini d'ensembles V x i , on
voit que si M = n
a Ha, n K c V2H, pour toute
i
a E M. Inversement, supposons qu'il y ait un voisinage ouvert
U de e dans G, tel que pour tout ensemble L E @, il y ait au
moins un a E L pour lequel Ha n K Q UH,, ; si o(L) est l'ensemble
des a E L ayant cette propriété, les w(L) formeraient la base
d'un filtre @' plus fin que @ sur r et, pour toute cc appartenant
à la réunion E des w(L) pour L E @, il existerait un t, E H, n K
n'appartenant pas à UH,,; pour cc $ E, on prend pour tu
un point quelconque de Ha. Comme K n C (UH,J est compact, il existerait une valeur d'adhérence s de a - t, suivant
@', appartenant à K n C (UH,,) ; mais comme @' converge
vers a,, dans l ? , cela contredit le lemme 3 du no 1.