188
INTEGRASION
chap. VIII, 8 5
6. Autre inteyprétation de la topologie de l'espace des sousgroupes fermés.
Soit 3 l'ensemble des parties fermées de G ; on définit
sur 3 une structure uniforme séparée de la façon suivante :
pour toute partie compacte K de G et tout voisinage V de e
dans Gy soit P(K, V) l'ensemble des couples (X, Y) d'éléments
de tels que l'on ait a la fois
Montrons que l'ensemble des P(K, V) est un système fondamental d'entourages d'une structure uniforme séparée % sur 3.
Les axiomes (U;) et (U;,) de Top. gén., chap. II, 3 e éd., 5 1, no 1
sont évidemment satisfaits ; en outre les relations K c K ' et
V' c V entraînent P(K', V') c P(K, V) ; pour vérifier (U;,,),
on peut donc se borner au cas où V est un voisinage compact
symétrique de e, de sorte que VK est compact. Supposons
que l'on ait (X, Y) E P(VK, V) e t (Y, Z) E P(VK, V) ; on a
alors X n K c X n VK c VY, et si y E Y est tel que vy E K
pour un u E V, on a nécessairement y E VK, donc
X n K c V(Y n VK) ;
d'autre part on a Y n VK c VZ, d'où X n K c V2Z et on
montre de même que Z n K c V2X, ce qui prouve (U;,,).
Enfin, si X, Y sont deux éléments distincts de 8 , il existe par
exemple un point a E X tel que a $ Y , donc un voisinage
compact symétrique V de e tel que Va n Y = %, ou encore
a 4 VY ; a fortiori on a (X, Y) $ P(Va, V), ce qui achève de
prouver notre assertion.
Cela étant, considérons sur l'ensemble E des sous-groupes
fermés de G la topologie F induite par la topologie de l'espace
uniforme 5 que nous venons de définir. Nous allons voir que
cette topologie est identique à la topologie définie au no 3. Il
suffira de prouver que l'application a - H, de r dans 2,
quand on munit Ç de la topologie Y , est continue : en effet,
INTEGRASION
chap. VIII, 8 5
6. Autre inteyprétation de la topologie de l'espace des sousgroupes fermés.
Soit 3 l'ensemble des parties fermées de G ; on définit
sur 3 une structure uniforme séparée de la façon suivante :
pour toute partie compacte K de G et tout voisinage V de e
dans Gy soit P(K, V) l'ensemble des couples (X, Y) d'éléments
de tels que l'on ait a la fois
Montrons que l'ensemble des P(K, V) est un système fondamental d'entourages d'une structure uniforme séparée % sur 3.
Les axiomes (U;) et (U;,) de Top. gén., chap. II, 3 e éd., 5 1, no 1
sont évidemment satisfaits ; en outre les relations K c K ' et
V' c V entraînent P(K', V') c P(K, V) ; pour vérifier (U;,,),
on peut donc se borner au cas où V est un voisinage compact
symétrique de e, de sorte que VK est compact. Supposons
que l'on ait (X, Y) E P(VK, V) e t (Y, Z) E P(VK, V) ; on a
alors X n K c X n VK c VY, et si y E Y est tel que vy E K
pour un u E V, on a nécessairement y E VK, donc
X n K c V(Y n VK) ;
d'autre part on a Y n VK c VZ, d'où X n K c V2Z et on
montre de même que Z n K c V2X, ce qui prouve (U;,,).
Enfin, si X, Y sont deux éléments distincts de 8 , il existe par
exemple un point a E X tel que a $ Y , donc un voisinage
compact symétrique V de e tel que Va n Y = %, ou encore
a 4 VY ; a fortiori on a (X, Y) $ P(Va, V), ce qui achève de
prouver notre assertion.
Cela étant, considérons sur l'ensemble E des sous-groupes
fermés de G la topologie F induite par la topologie de l'espace
uniforme 5 que nous venons de définir. Nous allons voir que
cette topologie est identique à la topologie définie au no 3. Il
suffira de prouver que l'application a - H, de r dans 2,
quand on munit Ç de la topologie Y , est continue : en effet,