(i) I l existe un voisinage ouvert U de e dans G tel que
H n U = {e} pour tout H G A.
(ii) I l existe une constante k telle que u(H) < k pour tout
H E A .
Compte tenu de la prop. 9, cela résulte aussitôt de ce que
D, est l'image de N, par la bijection canonique de N sur D,
e t de ce que, moyennant les hypothèses faites, cette bijection
est un homéomorphisme (no 4, prop. 8).
Exemple. - Prenons G = Rn et pour p la mesure de
Lebesgue ; toutes les hypothèses du cor. de la prop. 9 sont vérifiées. Les sous-groupes discrets H de G tels que G/H soit compact ne sont autres que les sous-groupes discrets de rang n
(Top. gén., chap. VII, $ 1, no 1, th. 1) ; un tel sous-groupe H
est engendré par une base (a,)lGicn de Rn, et on a
(le déterminant étant pris par rapport A la base canonique
de Rn) (chap. VII, $ 2, no 10, th. 4). L'espace Do peut ici s'interpréter de la façon suivante : tout sous-groupe H E Do est
le transformé g. Zn du sous-groupe Zn par un élément g E GL(n,R)
et le sous-groupe de GL(n, R) laissant stable Zn s'identifie A
GL(n, Z). Par suite D, s'identifie canoniquement, en tant qu'espace homogène (non topologique), à GL(n, R)/GL(n, 2 ) . D'autre
part, GL(n, R) opère continûment dans Rn, donc aussi dans
&+(Rn) pour la topologie vague ( 5 3, no 3, prop. 13), e t par
suite dans le sous-espace N, de &,.(Rn) ; en outre, I'homéomorphisme canonique (no 4, prop. 8) de N, sur D, est compatible
avec les lois d'opération de GL(n, R). Comme GL(n, R) est
dénombrable a l'infini et que D, est localement compact, la
bijection de GL(n, R)/GL(n, 2) sur D, définie plus haut est
un homéomorphisme (chap. VII, App. 1, lemme 2). Le cor.
de la prop. 9 donne donc un critère de compacité dans l'espace
homogène GL(n, R)/GL(n, 2 ) .
H n U = {e} pour tout H G A.
(ii) I l existe une constante k telle que u(H) < k pour tout
H E A .
Compte tenu de la prop. 9, cela résulte aussitôt de ce que
D, est l'image de N, par la bijection canonique de N sur D,
e t de ce que, moyennant les hypothèses faites, cette bijection
est un homéomorphisme (no 4, prop. 8).
Exemple. - Prenons G = Rn et pour p la mesure de
Lebesgue ; toutes les hypothèses du cor. de la prop. 9 sont vérifiées. Les sous-groupes discrets H de G tels que G/H soit compact ne sont autres que les sous-groupes discrets de rang n
(Top. gén., chap. VII, $ 1, no 1, th. 1) ; un tel sous-groupe H
est engendré par une base (a,)lGicn de Rn, et on a
(le déterminant étant pris par rapport A la base canonique
de Rn) (chap. VII, $ 2, no 10, th. 4). L'espace Do peut ici s'interpréter de la façon suivante : tout sous-groupe H E Do est
le transformé g. Zn du sous-groupe Zn par un élément g E GL(n,R)
et le sous-groupe de GL(n, R) laissant stable Zn s'identifie A
GL(n, Z). Par suite D, s'identifie canoniquement, en tant qu'espace homogène (non topologique), à GL(n, R)/GL(n, 2 ) . D'autre
part, GL(n, R) opère continûment dans Rn, donc aussi dans
&+(Rn) pour la topologie vague ( 5 3, no 3, prop. 13), e t par
suite dans le sous-espace N, de &,.(Rn) ; en outre, I'homéomorphisme canonique (no 4, prop. 8) de N, sur D, est compatible
avec les lois d'opération de GL(n, R). Comme GL(n, R) est
dénombrable a l'infini et que D, est localement compact, la
bijection de GL(n, R)/GL(n, 2) sur D, définie plus haut est
un homéomorphisme (chap. VII, App. 1, lemme 2). Le cor.
de la prop. 9 donne donc un critère de compacité dans l'espace
homogène GL(n, R)/GL(n, 2 ) .