186
INTÉGRATION
chap. VIII, § 5
crets de G, e t N, la partie de N correspondant aux sous-groupes
discrets H de G tels que G/H soit compacf ; on a donc N, = N n r!
avec les notations du no 3, prop. 6 ; et si le groupe G est engendré
par un voisinage compact de e, il résulte du no 3, prop. 6 que
N, est ouvert dans N (donc localement compact en vertu du no 3,
cor. de la prop. 7) et que la restriction à N, de l'application
a - IIpaII est uaguemenf continue.
PROPOSITION 9. - Soit G u n groupe localement compacf
commutatif, engendré par u n uoisinage compacf de e. Pour
qu'une partie A de N, soit relafivement compacte dans No, il
faut et il suffit qu'elle vérifie les deux conditions suivantes :
(i) Il existe u n voisinage ouvert U de e dans G tel que
Hu n U = {e) pour foufe cc E A.
(ii) Il exisfe une constanfe k felle que p,(G/H,) 9 k pour
-toute cc E A.
Si A c N, est relativement compacte dans N,, elle l'est a
fortiori dans N et la nécessité des conditions (i) et (ii) résulte
donc du no 3, prop. 6 et 7 (sans supposer G commutatif). Réciproquement, supposons que A c N, vérifie ces conditions ; si
x e s t l'adhérence de A dans N, A est compacte en vertu du no 3,
prop. 7 ; en outre, comme cc - llpail est semi-continue inférieurement dans F0 pour la topologie vague (no 2, prop. 4), la condition (ii) implique que l'on a aussi IlpuII < k pour toute cc E À.
Or, puisque G est commutatif, pa = plcc est une mesure de Haar
sur le groupe G/H,, et G/Ha est donc compact pour toute
cc E A (chap. VII, § 1, no 2, prop. 2). Cela signifie que Ac N, ,
donc A est relativement compacte dans N,.
COROLLAIRE. - Soif G u n groupe localement compacf commutatif, engendré par u n voisinage compacf de e et safisfaisant
a la condition ( L ) d u no 4. Soit D, l'ensemble des sous-groupes
discrets H de G tels que G/H soit compacf, et, pour tout H E D, , soit
v(H) la masse totale p,(G/H), où p, est la mesure quotient de p
par la mesure de Haar normalisée a de H . Pour qu'une partie
A de l'espace D, soit relativement compacte dans D,, il faut et il
sufit qu'elle vérifie les deux conditions suivantes :
INTÉGRATION
chap. VIII, § 5
crets de G, e t N, la partie de N correspondant aux sous-groupes
discrets H de G tels que G/H soit compacf ; on a donc N, = N n r!
avec les notations du no 3, prop. 6 ; et si le groupe G est engendré
par un voisinage compact de e, il résulte du no 3, prop. 6 que
N, est ouvert dans N (donc localement compact en vertu du no 3,
cor. de la prop. 7) et que la restriction à N, de l'application
a - IIpaII est uaguemenf continue.
PROPOSITION 9. - Soit G u n groupe localement compacf
commutatif, engendré par u n uoisinage compacf de e. Pour
qu'une partie A de N, soit relafivement compacte dans No, il
faut et il suffit qu'elle vérifie les deux conditions suivantes :
(i) Il existe u n voisinage ouvert U de e dans G tel que
Hu n U = {e) pour foufe cc E A.
(ii) Il exisfe une constanfe k felle que p,(G/H,) 9 k pour
-toute cc E A.
Si A c N, est relativement compacte dans N,, elle l'est a
fortiori dans N et la nécessité des conditions (i) et (ii) résulte
donc du no 3, prop. 6 et 7 (sans supposer G commutatif). Réciproquement, supposons que A c N, vérifie ces conditions ; si
x e s t l'adhérence de A dans N, A est compacte en vertu du no 3,
prop. 7 ; en outre, comme cc - llpail est semi-continue inférieurement dans F0 pour la topologie vague (no 2, prop. 4), la condition (ii) implique que l'on a aussi IlpuII < k pour toute cc E À.
Or, puisque G est commutatif, pa = plcc est une mesure de Haar
sur le groupe G/H,, et G/Ha est donc compact pour toute
cc E A (chap. VII, § 1, no 2, prop. 2). Cela signifie que Ac N, ,
donc A est relativement compacte dans N,.
COROLLAIRE. - Soif G u n groupe localement compacf commutatif, engendré par u n voisinage compacf de e et safisfaisant
a la condition ( L ) d u no 4. Soit D, l'ensemble des sous-groupes
discrets H de G tels que G/H soit compacf, et, pour tout H E D, , soit
v(H) la masse totale p,(G/H), où p, est la mesure quotient de p
par la mesure de Haar normalisée a de H . Pour qu'une partie
A de l'espace D, soit relativement compacte dans D,, il faut et il
sufit qu'elle vérifie les deux conditions suivantes :