ait IP(cp) - a(
pris assez petit, on a H p n V = (e} pour toute p E W ; il en
résultera que P(+) = p((e}), donc que Ip({e)) - u((e))I < E, ce
qui prouvera le lemme.
Il nous suffira de montrer que l'on a, pour E W,
Supposons en effet ce point établi : alors, pour x et y dans
V n H p , on a xy-l E V2 n Hp ; mais, en vertu de (S), cela entraîne xy-l E V n Hp ; autrement @~~ dit, V n H est un sous-groupe
de G, qui est évidemment discret et compact, donc fini ; mais
en vertu du choix de V,, cela entraîne bien V n H P = {el.
Raisonnons par l'absurde et supposons donc qu'il existe
un point z de V2-V appartenant à H p ; en vertu du choix de
U et V, on a +(sr1) + +(s) < q(s) dans Gy la relation z $ U2
entraînant Uz n U = a . Comme
on en déduit 2p(+) < P(cp) < a(?) + E ; mais on a aussi
et par construction a(
En termes imagés, on dit qu'un groupe G vérifiant la
condition (L) n'a pas de sous-groupes finis arbitrairement petits.
*On peut montrer que t o u t groupe de L i e vérifie la condition
-
-
-
-
-
-
(L) ; mais cette condition n'est pas caractéristique des groupes
de Lie ; par exemple le groupe multiplicatif des entiers padiques congrus à l mod. p satisfait a (L).,
5. Cas des groupes commutatifs.
Soient G un groupe localement compact, N c r0 Ie sousespace des mesures de Haar normalisées des sous-groupes dis-
pris assez petit, on a H p n V = (e} pour toute p E W ; il en
résultera que P(+) = p((e}), donc que Ip({e)) - u((e))I < E, ce
qui prouvera le lemme.
Il nous suffira de montrer que l'on a, pour E W,
Supposons en effet ce point établi : alors, pour x et y dans
V n H p , on a xy-l E V2 n Hp ; mais, en vertu de (S), cela entraîne xy-l E V n Hp ; autrement @~~ dit, V n H est un sous-groupe
de G, qui est évidemment discret et compact, donc fini ; mais
en vertu du choix de V,, cela entraîne bien V n H P = {el.
Raisonnons par l'absurde et supposons donc qu'il existe
un point z de V2-V appartenant à H p ; en vertu du choix de
U et V, on a +(sr1) + +(s) < q(s) dans Gy la relation z $ U2
entraînant Uz n U = a . Comme
on en déduit 2p(+) < P(cp) < a(?) + E ; mais on a aussi
et par construction a(
En termes imagés, on dit qu'un groupe G vérifiant la
condition (L) n'a pas de sous-groupes finis arbitrairement petits.
*On peut montrer que t o u t groupe de L i e vérifie la condition
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(L) ; mais cette condition n'est pas caractéristique des groupes
de Lie ; par exemple le groupe multiplicatif des entiers padiques congrus à l mod. p satisfait a (L).,
5. Cas des groupes commutatifs.
Soient G un groupe localement compact, N c r0 Ie sousespace des mesures de Haar normalisées des sous-groupes dis-