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INTÉGRATION
chap. VIII, 3 5
( L ) Il existe u n voisinage de e dans G qui ne confient aucun
sous-groupe fini de G non réduit à e.
Alors on a les propriétés suivantes :
(i) L'ensemble D des sous-groupes discrets de G est localement fermé dans C (ce qui équivaut à dire qu'il est localement
compact).
(ii) Pour qu'une partie fermée A de D soit compacte, il faut
et il suflt qu'il existe u n voisinage U de e dans G tel que H n U = (e)
pour tout sous-groupe H E A.
(iii) S i en outre G est engendré par u n voisinage compact
de e, l'ensemble D, des sous-groupes discrets H de G tels que G/H
soit compact est localement fermé dans X (donc localement compact).
On a D, = D n X!, donc (iii) est conséquence de (i) et
du th. 1, (ii) du no 3.
Avec les notations du no 3, prop. 7, il suffit, pour démontrer
(i) et (ii), de prouver que :
PROPOSITION 8. - L a bijection canonique de N sur D est
u n homéomorphisme.
Or, si l ? , est l'ensemble des mesures de Haar sur les sous-groupes discrets de G, D est canoniquement homéomorphe a l'espace
des orbites du groupe des homothéties de rapport > O dans rd (Top.
gén., chap. I,3e éd., § 5, no 2, prop. 4). II suffira donc de prouver
que l'application canonique oc - (a({e)),a/cr({e))) de rd sur RT x N
est un homéomorphisme, ce qui résultera du lemme suivant :
Lemme 4. - S i le groupe G vérifie la condition (L), l'applicafion a - a((e)) de I', dans I R : est vaguement continue.
Considérons une mesure a E rd; soit Vo un voisinage
ouvert relativement compact de e dans G tel que H, fi Vo = (e} et
qu'il n'existe aucun sous-groupe fini de G contenu dans V, et non
réduit à e. Soit V un voisinage compact symétrique de e tel que
V3 c VO, et soit U un voisinage symétrique de e tel que U2 c V.
Soit p (resp. +) une fonction. de X+(G), à valeurs dans (O, l),
égale à 1 dans V3 (resp. au point e) et de support contenu dans
V, (resp. dans U). L'ensemble des mesures P E rd telles que l'on
INTÉGRATION
chap. VIII, 3 5
( L ) Il existe u n voisinage de e dans G qui ne confient aucun
sous-groupe fini de G non réduit à e.
Alors on a les propriétés suivantes :
(i) L'ensemble D des sous-groupes discrets de G est localement fermé dans C (ce qui équivaut à dire qu'il est localement
compact).
(ii) Pour qu'une partie fermée A de D soit compacte, il faut
et il suflt qu'il existe u n voisinage U de e dans G tel que H n U = (e)
pour tout sous-groupe H E A.
(iii) S i en outre G est engendré par u n voisinage compact
de e, l'ensemble D, des sous-groupes discrets H de G tels que G/H
soit compact est localement fermé dans X (donc localement compact).
On a D, = D n X!, donc (iii) est conséquence de (i) et
du th. 1, (ii) du no 3.
Avec les notations du no 3, prop. 7, il suffit, pour démontrer
(i) et (ii), de prouver que :
PROPOSITION 8. - L a bijection canonique de N sur D est
u n homéomorphisme.
Or, si l ? , est l'ensemble des mesures de Haar sur les sous-groupes discrets de G, D est canoniquement homéomorphe a l'espace
des orbites du groupe des homothéties de rapport > O dans rd (Top.
gén., chap. I,3e éd., § 5, no 2, prop. 4). II suffira donc de prouver
que l'application canonique oc - (a({e)),a/cr({e))) de rd sur RT x N
est un homéomorphisme, ce qui résultera du lemme suivant :
Lemme 4. - S i le groupe G vérifie la condition (L), l'applicafion a - a((e)) de I', dans I R : est vaguement continue.
Considérons une mesure a E rd; soit Vo un voisinage
ouvert relativement compact de e dans G tel que H, fi Vo = (e} et
qu'il n'existe aucun sous-groupe fini de G contenu dans V, et non
réduit à e. Soit V un voisinage compact symétrique de e tel que
V3 c VO, et soit U un voisinage symétrique de e tel que U2 c V.
Soit p (resp. +) une fonction. de X+(G), à valeurs dans (O, l),
égale à 1 dans V3 (resp. au point e) et de support contenu dans
V, (resp. dans U). L'ensemble des mesures P E rd telles que l'on