Comme D,, est l'image de N, par l'application continue
canonique l? - Z, l'assertion (iii) du th. 1 résultera aussitôt
de la prop. 7, a).
Pour démontrer la prop. 7, notons que Nu peut être définie comme la partie de r 0 formée des a telles que l'on ait a la
fois
a((e)) 3 1 et a(U) < 1.
Or, si A est compact (resp. ouvert relativement compact)
dans G, l'application a - &(A) de &+(G) dans R est semi-continue supérieurement (resp. inférieurement) pour la topologie
vague (chap. IV, $ 1, no 1, prop. 4 et § 4, no 4, Remarque) ;
on voit donc que Nu est une partie fermée de P. De plus, soit
cp E Y + ( G ) une fonction telle que cp(e) = 1 et cp(x) = O dans
G - U ; il est clair que cp(x)da(x) = 1 pour toute a E NU ;
S
la prop. 2 du no 1 montre donc que Nu est un ensemble compact,
ce qui démontre a). Soit d'autre part V un voisinage ouvert
relativement compact de e dans G tel que V c U, et soit
cp E X+(G), de support contenu dans U et telle que cp(x) = 1
dans V. On a ~ ( 9 )
= 1 pour a E Nu, et il existe donc un voisinage W de a dans N tel que l'on ait P(cp) < 2 pour p E W ;
il est clair alors que l'on a W c N v , donc Nv est un voisinage
de Nu. Comme les Nu recouvrent N, cela démontre b). Enfin,
toute partie compacte M de N est contenue dans une réunion
finie d'ensembles NU, (1 < i < n) et comme
ou U = n U,, cela démontre c).
i
COROLLAIRE. - Le sous-espace N de r0 est localement
compacf.
4. Cas des groupes sans sous-groupes finis arbitrairement
petits.
T H ~ O R È M E 2. - Soit G un groupe localement compacf
vérifiant la condition suivante :