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INTÉGRATION
chap. VIII, $ 5
est compact. Etant donnée une mesure u E r!, il suffira donc
de définir une fonction g E Z + ( G ) telle que rO(g) soit un voisinage de u dans rO. Puisque G/Ha est compact et que l'application canonique f - f a de Z + ( G ) dans Z+(G/H,) est surjective
(chap. VII, $ 2, no 2, Remarque), il existe une fonction g E X + ( G )
telle que 1 g(xs)du(s) = 2 pour tout x E G. Soient K le support
(compact) de g, L un voisinage compact symétrique de e dans
G engendrant G ; l'application P - g * fi de d + ( G ) dans V ( G )
étant vaguement continue ( § 4, no 2, Remarque l), il existe
un voisinage W de u dans Po tel que l'on ait
pour toute P E W et tout x E LE<. Le premier membre de (7)
étant nul en dehors de KHp, la relation P E W implique
d'où l'on déduit, par récurrence sur n, LnK c K H p pour tout
entier n > O ; comme L engendre Gy on a donc G = K H p
pour toute mesure p E W, ce qui prouve que W c rc. D'autre
part, le premier membre de (7) étant invariant A droite par H P ,
l'inégalité (7) est aussi valable pour x E L K H p = G ; donc
W c rO(g), ce qui démontre la proposition.
Enfin, (iii) sera conséquence de la proposition suivante :
PROPOSITION 7. - Soit N c r0 le sous-espace des mesures
de Haar normalisées des sous-groupes discrets de G, et pour tout
voisinage ouvert relativement compact U de e dans G, soit Nu
la partie de N formée des E telles que Ha n U = (el. Alors :
a) Nu est compact.
b) Les intérieurs des ensembles Nu dans N forment un
recouvrement de N, lorsque U parcourt l'ensemble des voisinages
ouverts relativement compacts de e dans G.
c) Pour qu'une partie M de N soit relativement compacte
dans N, il faut et il sumt qu'il existe un voisinage ouvert relativement compact U de e dans G tel que M c N,.
INTÉGRATION
chap. VIII, $ 5
est compact. Etant donnée une mesure u E r!, il suffira donc
de définir une fonction g E Z + ( G ) telle que rO(g) soit un voisinage de u dans rO. Puisque G/Ha est compact et que l'application canonique f - f a de Z + ( G ) dans Z+(G/H,) est surjective
(chap. VII, $ 2, no 2, Remarque), il existe une fonction g E X + ( G )
telle que 1 g(xs)du(s) = 2 pour tout x E G. Soient K le support
(compact) de g, L un voisinage compact symétrique de e dans
G engendrant G ; l'application P - g * fi de d + ( G ) dans V ( G )
étant vaguement continue ( § 4, no 2, Remarque l), il existe
un voisinage W de u dans Po tel que l'on ait
pour toute P E W et tout x E LE<. Le premier membre de (7)
étant nul en dehors de KHp, la relation P E W implique
d'où l'on déduit, par récurrence sur n, LnK c K H p pour tout
entier n > O ; comme L engendre Gy on a donc G = K H p
pour toute mesure p E W, ce qui prouve que W c rc. D'autre
part, le premier membre de (7) étant invariant A droite par H P ,
l'inégalité (7) est aussi valable pour x E L K H p = G ; donc
W c rO(g), ce qui démontre la proposition.
Enfin, (iii) sera conséquence de la proposition suivante :
PROPOSITION 7. - Soit N c r0 le sous-espace des mesures
de Haar normalisées des sous-groupes discrets de G, et pour tout
voisinage ouvert relativement compact U de e dans G, soit Nu
la partie de N formée des E telles que Ha n U = (el. Alors :
a) Nu est compact.
b) Les intérieurs des ensembles Nu dans N forment un
recouvrement de N, lorsque U parcourt l'ensemble des voisinages
ouverts relativement compacts de e dans G.
c) Pour qu'une partie M de N soit relativement compacte
dans N, il faut et il sumt qu'il existe un voisinage ouvert relativement compact U de e dans G tel que M c N,.