logie quotient de la topologie vague sur I?, est appelé l'espace
des sous-groupes fermés de G.
THEOREME 1. - Soit G un groupe localement compact.
L'espace C des sous-groupes fermés de G est compact. O n a en
outre les propriétés suivantes :
(i) L'ensemble X0 des sous-groupes fermés unimodulaires de
G est fermé dans 2 (donc compact).
(ii) Si G est engendré par u n voisinage compact de e, I'ensemble Cf des sous-groupes fermés unimodulaires H de G tels
que l'espace quofient G/H soit compact, esf ouvert dans Li0 (donc
localement compacf).
(iii) Pour tout voisinage ouvert relativement compact U de
e dans G, l'ensemble Du des sous-groupes discrets H de G tels
que H n U = (e} est fermé dans r 0 (donc compact).
Il résulte de la prop. 3 du no 1 que C est homéomorphe
à F,, donc compact en vertu de la prop. 2 du no 1. On a noté
en outre au début du no 2 que l'ensemble F0 des mesures x E F
telles que H, soit unimodulaire est fermé dans r ; comme r0
est stable par les homothéties de rapport > 0, l'image Co de
Po dans Ç est une partie fermée de C, ce qui prouve (i).
La propriété (ii) sera conséquence de la proposition suivante :
PROPOSITION 6. - Supposons que le groupe localemenf
compact G soit engendré par un voisinage compact de e. Alors
l'ensemble X' ! des mesures x G PO telles que G/H, soit compact
est ouvert dans r O , et la restriction a rf de l'application or - l l p,l l
est v a g u e m e n t continue.
Avec les notations de la prop. 5 du no 2, on a, pour
s E x+ (G)
En effet, si K est le support de g, la relation g(xs)dor(s) 3 1
S
pour tout x E G entraîne KH, = G, l'intégrale étant évidemment nulle dans le complémentaire de KH, , donc G/H, = n,(K)