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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 5
en combinant ce résultat avec (5), on voit que l'on a
dès que p E U,, ce qui termine la démonstration.
COROLLAIRE 1. - Soient K une partie compacte de G, V
un voisinage compact symétrique de e dans G, c un nombre réel
> O. La restriction de l'application u - IIp,II à l'ensemble des
a E Po telles que l'on ait G = KH, et u(V) 2 c est uaguement
continue.
E n effet, soit g E Y,(G) une fonction telle que g(z) 2 l/c
pour x E KV. Pour tout x E K , on a
a vérifiant les conditions de l'énoncé ; comme en outre x,(K) = Q,
on a u E rO(g), d'où le corollaire.
COROLLAIRE 2. - Soit A une partie pintégrable de G. L a
restriction de l'application ol - llpall à l'ensemble NA des mesures
de Haar normalisées des sous-groupes discrets H de G tels que
G = A H est uaguement continue.
E n effet, pour a E A et u E NA, on a
et comme x,(A) = Qu, on a NA c rO(TA), et le corollaire résulte
donc de la prop. 5.
3. L'espace des sous-groupes fermés de G.
Désignons par Z l'ensemble des sous-groupes fermés de
G ; si l'on associe a chaque mesure a E I' le sous-groupe H,
support de or, on obtient une application (dite canonique) de
l? dans 2, qui est évidemment surjective e t permet d'identifier
canoniquement C à l'ensemble des orbites du groupe des homothéties de rapport > O dans l?. L'ensemble X, muni de la topo-