dans (O, l), égale ti 1 dans l'ensemble compact n,(K) ; comme
l'application f - f, de Z+(G) dans .T+(Q,) est surjective (chap.
VII, $2, no 1, prop. 2)' on voit qu'il existe une fonction f E S+(G)
telle que l'on ait
Comme a + f * 13 est une application continue de A + ( G ) , muni
de la topologie vague, dans %(G) muni de la topologie de la
convergence compacte ( $ 4, no 2, Remarque l), on voit que,
pour t o u t s->-O, - l'ensemble U, des P G rO(g) telles que l'on
ait
est un voisinage ouvert de cc dans P ( g ) ; pour toute p E U, ,
on a alors en vertu de la formule (2)
Le nombre E > O Ctant donnk, choisissons une fonction
h E X+ (G) telle que /g(x) - h(x)/dp(x) <
L
ce qui précède K = Supp(h). Pour tout P
hypothèse gp(x) 2 1 presque partout (pour
E , et, prenons dans
E rO(g), on a par
pp) dans Qp, donc
en vertu de (4) ; comme h est nulle en dehors de K, et a fortiori
en dehors de KHD, il vient