178
INTÉGRATION
chap. VIII, 9 5
où l'on pose
Pour établir la proposition, il suffira de montrer que, pour
f E T + (G) donnée, l'application a - llf,ll est vaguement continue.
Or, soit K le support de f ; la fonction f * a a son support contenu
dans KH, et est invariante à droite par H, ; par suite
La conclusion résulte donc de ce que l'application u - f * a de
.A+(G) muni de la topologie vague, dans g(G), muni de la
topologie de la convergence compacte, est continue ( 5 4, no 2,
Remarque 1).
Rappelons que si, pour une mesure a E rO, llp,ll est finie, G
est nécessairement unimodulaire (chap. VII, $ 2, no 6, cor. 3
du th. 3).
PROPOSITION 5 . - Soit g une fonction numérique positive
pintégrable et soit rO(g) l'ensemble des mesures a E r0 telles que
l'on ail /*g(xs)du(s) > l pour touf x s G. Alors l'application
a - IIp,ll de rO(g) dans R est vaguement continue.
Pour toute mesure a E rO(g), rappelons (chap. VIL 5 2,
no 3, prop. 5) que la fonction
est définie pu-presque partout sur Q,, est paintégrable, et que
E n vertu de la prop. 4, il suffit de démontrer que, dans FO(g),
a - IIp,// est semi-continue supérieurement. Une mesure a E rO(g)
étant fixée, soit K une partie compacte de G. Il existe sur Q,
une fonction continue à support compact, prenant ses valeurs