no 2
L'ESPACE D E S SOUS-GROUPES FERMÉS
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2. Semi-continuité du volume de l'espace homogène.
Dans ce no, pour toute mesure cc E I', nous poserons
e t nous désignerons par xa l'application canonique G - Q,.
Soit I'0 le sous-ensemble de l? formé des mesures a telles
que le sous-groupe H, de G soit unimodulaire ; les éléments
de I'O sont caractérisés par le fait que l'on a r(f) = a(fY) pour
toute fonction f E X(G) (toute fonction de Z(Hu) se prolongeant en une fonction de Z(G) en vertu du th. d'urysohn) ;
on en conclut que F0 est une partie fermée de P. Pour toute
a E rO, rappelons que sur Qu la mesure quotient p, = plcc est
définie et relativement invariante par G (chap. VII, 5 2, no 6,
th. 3) ; rappelons aussi que pour toute fonction f E Z(G), on a
où x = na(x) est l'image canonique de x E G dans Q u .
PROPOSITION 4. - Soit I'0 l'ensemble des mesures a EI'
telles que Hu soit unimodulaire, et pour foute oc E rO, posons
p, = p/a ; alors l'application a - llpall de r0 dans est semicontinue inférieurement pour la topologie vague.
Pour toute cc E I'O et toute fonction f E X(G), posons
où le produit de convolution est pris relativement à la mesure
de Haar A droite p e t où l'on utilise le fait que a" = a ( 5 4, no 4,
formule (11)). On sait (chap. VII, § 2, no 1, prop. 2), que l'application f - fa de .X+(G) dans sf+(Q,) est surjectiue ; on a donc,
en vertu de (2),
BOURBAKI. XXIX
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