176
INTEGRATION
chap. VIII,
PROPOSITION 2. - Soit cp(e) > O. Alors l'ensemble I
'
, des mesures a E F telles
S
cp(x)da(x) = 1 est compact pour la topologie vague.
L'ensemble F, est l'intersection de F et de l'hyperplan
de d ( G ) formé des a telles que
hyperplan est vaguement fermé dans A ( G ) et ne contient pas
O, il résulte de la prop. 1 que F, est vaguement fermé dans
A ( G ) . Il suffit donc de montrer que, pour toute partie compacte
K de G, on a sup x(K) < + co (chap. III, § 2, no 7, prop. 9).
ael' ' P
Or, soit U le voisinage ouvert de e dans G défini par l'inégalité
q(e)/2; comme 1 = / p(x)du(x) >/urp(x)da(x) pour
cc E r , , on voit que, si l'on pose c = 2/(p(e), on a u ( U ) ,< c pour
toute cc E rq. Soit V un voisinage ouvert symétrique de e dans
G tel que V 2 c U ; montrons que l'on a cc(Vx) < c pour tout
x E G et toute a E F,. E n effet, cette relation est triviale si
V x ne rencontre pas le support 1-1, de a ; si par contre il existe
un h E V X n H,, on a h = v x pour un v E V, d'où
V x = Vu-lh c V 2 h c U h ,
et comme S(h)cc = cc, il vient a ( V x ) < u(Uh) = u ( U ) < c. Soit
alors (xi),,,,,
une suite de points de K telle que les Vxi forment
un recouvrement de K ; il résulte de ce qui précède que
n
a ( K ) < a(Vxi) < n c pour toute a E F,; C.Q.F.D.
i - 1
PROPOSITION 3. - SOUS les hypothèses de la prop. 2, l'application a - (
est u n homéomorphisme de l? sur
Comme l'application u - (cp, U ) est vaguement continue, il
suffit de remarquer que l'on a
INTEGRATION
chap. VIII,
PROPOSITION 2. - Soit cp(e) > O. Alors l'ensemble I
'
, des mesures a E F telles
S
cp(x)da(x) = 1 est compact pour la topologie vague.
L'ensemble F, est l'intersection de F et de l'hyperplan
de d ( G ) formé des a telles que
hyperplan est vaguement fermé dans A ( G ) et ne contient pas
O, il résulte de la prop. 1 que F, est vaguement fermé dans
A ( G ) . Il suffit donc de montrer que, pour toute partie compacte
K de G, on a sup x(K) < + co (chap. III, § 2, no 7, prop. 9).
ael' ' P
Or, soit U le voisinage ouvert de e dans G défini par l'inégalité
cc E r , , on voit que, si l'on pose c = 2/(p(e), on a u ( U ) ,< c pour
toute cc E rq. Soit V un voisinage ouvert symétrique de e dans
G tel que V 2 c U ; montrons que l'on a cc(Vx) < c pour tout
x E G et toute a E F,. E n effet, cette relation est triviale si
V x ne rencontre pas le support 1-1, de a ; si par contre il existe
un h E V X n H,, on a h = v x pour un v E V, d'où
V x = Vu-lh c V 2 h c U h ,
et comme S(h)cc = cc, il vient a ( V x ) < u(Uh) = u ( U ) < c. Soit
alors (xi),,,,,
une suite de points de K telle que les Vxi forment
un recouvrement de K ; il résulte de ce qui précède que
n
a ( K ) < a(Vxi) < n c pour toute a E F,; C.Q.F.D.
i - 1
PROPOSITION 3. - SOUS les hypothèses de la prop. 2, l'application a - (
est u n homéomorphisme de l? sur
Comme l'application u - (cp, U ) est vaguement continue, il
suffit de remarquer que l'on a