Lemme 2. - Soient X u n espace localement compact el pour
toute mesure a G A+ ( X ) - {O), soif S, le support de a. Soit cD
u n filtre sur A'+(X) - {O} qui converge vaguement vers une
mesure a, # O. Alors, pour tout voisinage V d'un point s du
support de a,, il existe u n ensemble M E 0 tel que, pour toute
~ E M ,
on ait V n Su,# 0 .
En effet, si cp E Z + ( X ) est une fonction de support contenu
dans V et telle que cp(x)da,(x) > O, il existe par définition
S
un ensemble M E 0 tel que cp(x)dcc(x) > O pour toute a E M,
ce qui- entraîne V fi S, # 0 .
S
Lemme 3. - Soient E u n ensemble filtré par u n filtre a,
E, - a ( [ ) une application- de E dans I', qui converge vaguement
suivant @ vers une mesure cc, # O. Soit d'autre part 5 - f i une
application de E dans G telle que, pour tout E, G E , on ait tt; E Hu(<,.
S i s est une valeur d'adhérence de l'application [ - tc suivant @,
on a S(s)a, = a,.
Remplaçant au besoin cD par un filtre plus fin, on peut
supposer que s est valeur limite de 6 - tc suivant 0 ; en vertu
du lemme 1, on a S(tt;)a(E) = a([) pour tout 5 E E, et la conclusion résulte de la continuité de l'application (rr, A) - S(u)h dans
G x A , ( G ) ( § 3, no 3, prop. 13).
Pour prouver la prop. 1, il suffit, en vertu du lemme 1,
de montrer que, si un filtre Y sur I ' converge vaguement vers
une mesure a, # O et si s appartient au support de a,, on a
S(s)a, = a,. Or, pour tout voisinage V de s dans G, il existe
-
M r T - t e l que, pour toute a E M, on ait V fl Hu # 0 , en vertu
du lemme 2. Pour tout voisinage V de s et toute cc E r, soit
alors tv,, un point de V n Hu si V n H, # 0, un point quelconque de H, dans le cas contraire ; si O est le filtre des sections du filtre des voisinages de s, @ le filtre produit O x Y,
s est valeur d'adhérence de ( V , a ) - tv,, suivant 0 d'après ce
qui précède. Comme d'autre part l'application (V, cc) -> a a pour
valeur limite a, suivant a, la proposition résulte du lemme 3.