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INTÉGRATION
chap. V I I I , $ 5
nôme ; par ailleurs, d'après la prop. 5 (iv), et le 5 2, no 7, cor. 3
du lemme 4, f + G, converge uniformément vers f. *Si f est
de classe Cr, les dérivées D8(f * G,) tendent uniformément vers
DSf pour O 4 s 4 r.*
5 5. L'espace des sous-groupes fermés.
Dans ce paragraphe, G désigne u n groupe localement compact
et p une mesure de Haar à droite sur G.
1. L'espace des mesures de Haar des sous-groupes fermés
de G.
Lemme 1. - Soient w. une mesure positive # O sur G, S
son support ; les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) S est u n sous-groupe fermé de G et la mesure induife
par a sur S est une mesure de Haar à droite sur S.
b) Pour tout s E S, on a S(S)U = a.
E n outre, lorsque ces conditions sont vérifiées, l'ensemble
des t E G tels que S(t)a = a est égal a S.
Il est clair que a) entraîne b) ; inversement, la relation b)
entraîne S x = S pour tout x E S ; autrement dit les relations
x E S et y E S entraînent que y E S X , OU encore yx-l E S , e t
comme S n'est pas vide, S est un sous-groupe fermé de G. L'ensemble des f E G tels que St = S est alors S lui-même, d'où la
dernière assertion.
Dans le reste de ce paragraphe, nous noterons l? l'ensemble
des mesures positives # O sur G vérifiant les conditions d u lemme 1,
et pour tout a E I', nous noterons H, le sous-groupe fermé de G,
suppori de a.
PROPOSITION 1. - L'ensemble T est fermé dans l'espace
A + ( G ) - (O), m u n i de la topologie vague.
Démontrons d'abord les lemmes suivants :