COROLLAIRE. - Soif W un sous-espace vectoriel fermé de
Ll(G, P). Pour que W soit un idéal à gauche (resp. à droite) de
L1(G, fi), il faut et il su@ que W soit invariant par les translations à gauche (resp. à droite) de G.
Supposons que W soit un idéal à gauche. Soient s E G et
g E W. On a E, * g = limvfv * (E, * 9) = limv(f, * E,) * g, et
(f, * E,) * g E W, donc E~ * g E W, donc y(s)g E W. Réciproquement, si W est invariant par les translations à gauche, on
a p *Dg E W pour p E d l ( G ) et g E W, donc W est a fortiori
un idéal à gauche de L1(G, (3). On raisonne de même pour les
idéaux à droite.
Exemple. - On prend G = R. Définissons une fonction
F, E X(R) par
Soient A, =
F,(x)dx, et G, = An1F,. Il est immédiat que
S -
:
les mesures G,(x)dx satisfont aux conditions du $ 2, no 7, cor. 1
du lemme 4. Soit p une mesure sur R dont le support soit contenu
dans (- 112, 112). On a
1
Si - -
1
L x 4-, on a alors
2 -
2
donc p * Gn coïncide dans (- 112, 112) avec un polynôme. E n
particulier, si f est une fonction continue Li support contenu
dans (- 112, 1/2), f * Gn coïncide dans (- 112, 112) avec un poly-