chap. VIII, 5 4
une base d u filtre des voisinages de e dans
compacts. Pour tout V E 123, soif f v une
sur G, de support contenir dans V , et
G, formée de voisinages
fonction continue 2 0
telle que 1 fv dp = 1.
Alors, si y est une mesure sur G, on a, dans &(G) m u n i de la
topologie de la convergence compacte sur X ( G ) ,
la limite étant prise suivant le filtre des sections de B.
Pour la topologie de la convergence compacte sur Q(G),
fv. P tend vers E, suivant le filtre des sections de B (3 2, no 7,
cor. 1 du lemme 4). Donc t*, = lim, y * (fv. P) = limv(fv. P) * p
dans d ( G ) muni de la topologie de la convergence compacte
sur X(G) (3 3, no 3, cor. de la prop. 12).
Remarques. - 1) On voit donc que toute mesure sur G
est limite de mesures admettant une densité continue par rapport
a toute mesure de Haar (pour la topologie indiquée dans la
prop. 19 et a fortiori pour la topologie vague).
2) Si G est métrisable, on peut prendre pour 23 une suite
(V,) de voisinages. Alors p est limite de la suite des mesures
(p + fv,,). p à densités continues. *Si G est un groupe de Lie réel,
on peut prendre les fv, indéfiniment diff érentiables ; nous verrons
plus tard qu'alors les densités p * fv, sont indéfiniment différentiables.,
PROPOSITION 20. - On conserve les hypothèses et Zes notations
de la prop. 19. Soient p E (1, + CO), et g E LP(G, fi). On a
au sens de la norme N D , la limite étant prise suiuant le filtre des
sections de B.
Il sufit d'appliquer la prop. 6 (iii), et le $ 2, no 7, cor. 3
du lemme 4.
Remarque 3. - D'après la prop. 15, les fonctions g * f,,
fv * g appartiennent à X ( G ) .