COROLLAIRE 2. - Soient G u n groupe localement compact,
p une mesure de Haar sur G, E u n espace de Banach de type
dénombrable, U une représentation linéaire de G dans E , telle
que U ( s ) E 9 ( E ; E ) pour tout s E G. Soit (a,) une suite totale
dans E, et soit (an) une suite partout dense dans la boule unité
Br d u dual E' de E, munie de la topologie faible. On suppose
que les fonctions s - (U(s)a,, an) sur G sont B-mesurables.
Alors U est une représentation linéaire continue.
Montrons d'abord que pour tout z' E E', les fonctions numériques
sont P-mesurables ; on peut se borner au cas où llz' ll < 1, et
comme Br est métrisable pour la topologie faible (Esp. uect.
top., chap. IV, 3 5 , no 1, prop. 2), il existe une suite (dl,) extraite
de ( a i ) et qui converge faiblement vers z' ; la fonction
s - (U(s)a,, z'>
est donc limite d'une suite de fonctions P-mesurables d'où
notre assertion. On en conclut que l'application s - U(s)a,
de G dans E est p-mesurable pour tout m (chap. IV, 5, no 5,
prop. 10). D'autre part, il existe une suite (b,) d'éléments
de E , combinaisons linéaires des a , , qui est partout dense dans la
boule unité de E. Pour tout s E G, on a IIU(s)ll = sup IIU(s)b,ll,
m
donc s - IIU(s)ll est mesurable. Soit K une partie compacte de
G et soit E > O. Il existe une partie compacte K , de K telle
que P(K - K a ) < E et que les restrictions à K , des fonctions
s - U(s)a, e t s - IIU(s)il soient continues. Alors les U(s) pour
s E K a sont équicontinus et la topologie de la convergence
simple induit sur U(K,) la topologie de la convergence simple
dans l'ensemble des a, ( E s p . uect. top., chap. I I I , § 3, no 5,
prop. 5 ) . Par suite l'application s - U(s) de K, dans .9,(E; E)
est continue. Il suffit alors d'appliquer le cor. 1.
7. Régularisation.
PROPOSITION 19. - Soient G rrn groupe localement compact,
f3 une mesure positive # O relafiuement invariante sur G, 113