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INTEGRATION
chap. V I I I , 5 4
Soit f : G - I' une application de G dans l? telle que
f(xy) = f(x)f(y) pour x, y dans G, et mesurable pour une
mesure de Haar p de G. Alors f esf continue.
Posons g(x) = f(x-l) pour x E G. Comme f e t g sont (3mesurables, il existe une partie compacte K non p-négligeable
de G telle que les restrictions de f et g a K soient continues.
L'application (x, y) - f(xy-l) = f(z)g(y) de K x K dans I' est
continue parce que la multiplication de l? est continue sur
f(K) x g(K) ; or cette application s'écrit y O +, où + est l'application (z, y) - xy-l de K x K sur K . K-l, et où y est la restriction de f a K . K-l. Soit R la relation d'équivalence définie
sur K x K par +. L'application +' de ( K x K ) / R sur K . K - l
déduite de + par passage au quotient est continue, donc
(K x K)/R est séparé et +' est un homéomorphisme. Comme
rp O + est continue, on voit que la restriction de f a K . K-l est
continue. Or K . K - l est un voisinage de e (prop. 17), donc f
est continue en e. Pour tout xo E G, on a f(xox) = f(xo)f(x),
donc f est continue en x, , parce que la topologie de I' est invariante par translations.
COROLLAIRE 1. - Soient G un groupe localement compact,
p une mesure de Haar de G, E un espace localement convexe
tonnelé séparé, U une représentation linéaire de G dans E , telle que
U(s) E 9 ( E ; E ) pour tout s E G, P-mesurable quand on munit
9 ( E ; E ) de la topologie de la convergence simple. Alors U est
une représentation linéaire continue.
Soit I' le groupe des automorphismes de E, muni de la
topologie de la convergence simple. Cette topologie est séparée
et invariante par translations. Soit K une partie compacte de P.
Alors K est bornée dans 9 ( E ; E ) muni de la topologie de la
convergence simple, donc équicontinue (Esp. vect. top., chap.
I I I , tj 3, no 6, th. 2) ; donc l'application ( 1 1 , v) - u O u de K x K
dans 9 ( E ; E ) est continue (loc. cit., 5 4, cor. 1 de la prop. 9).
Donc, pour tout x E E, l'application s - U(s)x de G dans E
est continue (prop. 18). Comme E est tonnelé, U est continue
(5 2, no 1, prop. 1).
INTEGRATION
chap. V I I I , 5 4
Soit f : G - I' une application de G dans l? telle que
f(xy) = f(x)f(y) pour x, y dans G, et mesurable pour une
mesure de Haar p de G. Alors f esf continue.
Posons g(x) = f(x-l) pour x E G. Comme f e t g sont (3mesurables, il existe une partie compacte K non p-négligeable
de G telle que les restrictions de f et g a K soient continues.
L'application (x, y) - f(xy-l) = f(z)g(y) de K x K dans I' est
continue parce que la multiplication de l? est continue sur
f(K) x g(K) ; or cette application s'écrit y O +, où + est l'application (z, y) - xy-l de K x K sur K . K-l, et où y est la restriction de f a K . K-l. Soit R la relation d'équivalence définie
sur K x K par +. L'application +' de ( K x K ) / R sur K . K - l
déduite de + par passage au quotient est continue, donc
(K x K)/R est séparé et +' est un homéomorphisme. Comme
rp O + est continue, on voit que la restriction de f a K . K-l est
continue. Or K . K - l est un voisinage de e (prop. 17), donc f
est continue en e. Pour tout xo E G, on a f(xox) = f(xo)f(x),
donc f est continue en x, , parce que la topologie de I' est invariante par translations.
COROLLAIRE 1. - Soient G un groupe localement compact,
p une mesure de Haar de G, E un espace localement convexe
tonnelé séparé, U une représentation linéaire de G dans E , telle que
U(s) E 9 ( E ; E ) pour tout s E G, P-mesurable quand on munit
9 ( E ; E ) de la topologie de la convergence simple. Alors U est
une représentation linéaire continue.
Soit I' le groupe des automorphismes de E, muni de la
topologie de la convergence simple. Cette topologie est séparée
et invariante par translations. Soit K une partie compacte de P.
Alors K est bornée dans 9 ( E ; E ) muni de la topologie de la
convergence simple, donc équicontinue (Esp. vect. top., chap.
I I I , tj 3, no 6, th. 2) ; donc l'application ( 1 1 , v) - u O u de K x K
dans 9 ( E ; E ) est continue (loc. cit., 5 4, cor. 1 de la prop. 9).
Donc, pour tout x E E, l'application s - U(s)x de G dans E
est continue (prop. 18). Comme E est tonnelé, U est continue
(5 2, no 1, prop. 1).