6. Applications.
PROPOSITION 17. - Soient G un groupe localement compact,
A une partie de G, mesurable et non localement négligeable pour
une mesure de Haar. Alors A . A-l est un voisinage de e.
Soit p une mesure de Haar a gauche. II existe une partie
compacte K de G telle que B = A n K soit intégrable de mesure
> O pour p. Appliquons le cor. de la prop. 15 avec f = g = cp, .
La fonction F = cp, * 4;, est continue et > O en e. Donc il
existe un voisinage V de e tel que F(z) > O pour x E V. Or
Donc, pour x E V, on a B n XB # a, d'où x E B .B-l. Donc
V c B .B-l c A . A-l.
COROLLAIRE 1. - Soit H un sous-groupe de G mesurable
pour une mesure de Haar p. Alors H est, soit ouvert, soit localement P-négligeable.
Car K = H.H-1, donc, si H n'est pas localement p-négligeable, H contient un voisinage de e (prop. 17) et est par suite
ouvert (Top. Gén., chap. III, 3 e éd., tj 2, no 1, cor. de la prop. 4).
COROLLAIRE 2. - Soit L une partie de G stable pour la
multiplication et dont le complémentaire est localement négligeable
pour' une mesure de Haar p. Alors L = G.
E n effet, L-l et L n L-1 sont de complémentaires localement fi-négligeables. Or L n L-l est un sous-groupe, donc est
ouvert (cor.. 1) et par suite fermé. Donc G - (L n L-l),
qui est ouvert e t localement @-négligeable, est vide. Donc
G = L n L-1.
PROPOSITION 18. - Soient G un groupe localement compact,
K' un ensemble muni d'une multiplication (u, v) - UV et d'une
topologie séparée telles que :
1) la topologie de I ' est invariante par les translations ;
2) la restriction de la multiplication à toute partie compacte
de F est continue.