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INTÉGRATION
chap. VIII, § 4
Pour f, g dans Y(G), on a f lit g E X(G) (prop. 11) ; donc, pour
f E LP(G, P) e t g E Lq(G, g), le produit f r g fourni par (15) est
limite uniforme de fonctions de X(G), donc appartient à X(G).
COROLLAIRE. - Soient f E L2(G, P), g E L2(G, fi). Alors f et
V
-
g sont convolables. L'une des conuolées f r apparfient à %(G)
et sa valeur en e est
f(s)g(s)dp(s).
L
Il suffit de faire p = q = 2 dans la prop. 15 et d'appliquer
(16).
On ne suppose plus P invariante à gauche. Soit p une fonction > O finie semi-continue inférieurement sur G telle que
p(st) 4 p(s)p(t) quels que soient s, t dans G. On note LP(G, P)
l'ensemble des classes de fonctions complexes sur G intégrables
pour p. P. Par l'application f - f . p, LYG, P) s'identifie A l'ensemble des éléments de AP(G) qui sont de base p (ensemble
qui est indépendant du choix de P). Si on pose
pour f E LP(G, p), cette identification est compatible avec les
normes, donc LP(G, P) apparaît comme une sous-algèbre normée
complète de AP(G). C'est même un idéal bilatère de d P ( G )
d'après la prop. 10 du § 3, no 2. (Pour p = 1, on retrouve une
des assertions du no 4). En particulier, L1(G, P) s'identifie à
un idéal bilatère fermé de Ai(G).
PROPOSITION 16. - Soif U une représentation continue de
G dans un espace de Banach E. Posons p(s) = IIU(s)ll pour tout
s E G. Pour toute f G LP(G, p), posons U(f) = U(f . P). Alors
f - U(f) est une représentation linéaire de l'algèbre LYG, p) dans
E, telle que IIU(f)ll 4 Ilfilp.
Ceci résulte du 5 2, no 6, et du 3 3, no 3, prop. 11.