PROPOSITION 13. - Si fx-l E L1(G, P) et g E X(G), ou si
f E S ( G ) et gxf-l E Ll(G, P), f et g sont convolables, -- et (15) définit
pour tout x E G un produit f * g qui appartienf à Z(G).
CeIa résulte de la prop. 5 du no 2 et des remarques du
no 4.
PROPOSITION 14. - Si f ~ - l E L1(G, P) et g E Lm(G, fi), la
formule (15) définit pour tout x E G un produit f + g qui est borné
et uniformément continu pour la structrrre uniforme droite de Cr.
On sait déjà que f * g appartient a Lm(Cr, P) (no 2, prop. 5) ;
en outre on a ( f * g)(x) = f(xs-l)g(s)dv(s), en posant v = ;-'-l. @ ;
S
v est une mesure de Haar à droite. Donc
et la dernière intégrale est arbitrairement petite pourvu que
x'x-l soit dans un voisinage convenable de e (a 2, no 5, prop. 8).
PROPOSITION 15. - Soient p et q deux exposants conjugués
(1 < p < + a ) . Supposons P invariante à gauche. Soient
f E Lp(G, p), q E La(G, r). Alors f et g sont conuolobles. I, a formule (15) définit, pour tout x E G, un produit f * g qui appartient
à X ( G ) , et qui est tel que I V * gll, 6 llfllJ~lla.
En effet, on a g E Lg(G, P), donc la fonction s - g(s-lx)f(s)
est @-intégrable pour tout x E G. En outre,
donc f e t g sont convolables (prop. 9). On voit en même temps
que (15) définit pour tout x un produit f * g tel que