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INTÉGRATION
chap. V I I I , $ 4
et g sont conuolables, la fonction f * g est donnée localement
p-presque partout par
Ceci résulte de la prop. 2 du no 1, et des remarques du no 4.
En particulier, si f * g est continue et donnée en tout point
par (15), on a
Plus particiilièrement encore, si P est une mesure de Haar à
gauche et à droite, si f * g et g * f sont continues et données
en tout point par (15) e t la formule analogue pour g * f , on a
PROPOSITION 11. - Soient f , g dans 2'(G). On suppose
que l'une des fonctions f , g est continue et que l'une des fonctions
1, g est a support compact. Alors f et g sont conuolables. L a formule (15) détînit pour tout x E G u n produit f + g qui est continu.
Si f E %(G) et g E X ( G ) , on a f + g E X ( G ) .
Ceci résulte des prop. 3 et 4 du no 2.
PROPOSITION 12. - Soient p et q deux exposants conjugués
( 1 - L p L + CO). Si f ~ - l / q G L1(G, P) et g E L P ( G , P), f et g sont
convolables, f * g est égale localement fi-presque partout à une
fonction de Lp(G, P), et on a
llf * 911, 4 llfx-l'"Illlgllp
Si f E LP(G, (3) et gx'-l/q E L1(G, P) f et g sont conuolables, f * g est
égale localement P-presque partout a u n e fonction de L p ( G , P), et o n a
Ilf * g112, " Ilfllpllg~'-~'QIIl.
Ceci résulte des prop. 5 et 6 du no 2 et des remarques
du no 4.