Rappelons que, si f est une fonction complexe sur G, la
propriété d'être localement p-intégrable est indépendante du
choix de p. Soit 2 ( G ) l'ensemble des fonctions possédant cette
propriété. Si f E 9(G), g E 9(G), la relation
u f . P et g. p sont convolables »
est indépendante du choix de P ( 5 3, no 1, prop. 6). Nous dirons
alors que f e t g sont convola bles. D'après le no 1, (f . P) + (g . p)
est de la forme h . p avec h E 9, h étant déterminée aux ensembles
localement p-négligeables près. On posera h = f *Dg et on
dira que h est un produit de convoZution de f et g relativement
à p. (On omet p quand aucune confusion n'est possible). Si P
est remplacée par 4. P, + étant une représentation continue de
G dans RT , h ne change pas ( 5 3, no 1, prop. 6) ; si P est remplacée par ap (a E RT), h est remplacée par ah. On définit
de manière analogue le produit de convolution de plusieurs
fonctions sur G.
Si l'une des convolées de f et g est continue, elle est déterminée de manière unique puisque le support de P est G. On
l'appelle alors le produit de convolution de f et g relativement
a p.
Il est clair que
PROPOSITION 9. - Soient f, g dans OEP(G). Supposons que
la fonction s - g(s-lx)f(s)~(s-l) soif essentiellement p-intégrable
sauf pour un ensemble localement p-négligeable de valeurs de x,
el que la fonction x - Ig(~-~x)f(s)1~(s-~)dp(s), définie locales
ment @-presque partout, soit localement @-inféqrable. Alors f et g
son f convola bles.
Ceci résulte de la prop. 1 du no 1.
PROPOSITION 10. - Soient f, g dans 9(G). On suppose que
l'une de ces deux fonctions est continue ou nulle dans le complémentaire d'une réunion dénom bru ble d'ensembles compacts. Si f