puisque p = 4. p. D'aprés la prop. 6, cette dernière intégrale
est finie et égale à ([pl *@lfJ)(x) localement @-presque partout.
et J est finie puisque g E Lg et 1 *pl f 1 E LP (prop. 6). Donc h
est (p @ p)-intégrable.
La formule (8) signifie alo-rs q u e l'endamorphisme
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de Lq(X, P) est, pour p E dP(G), le transposé de l'endomorphisme
f - p * f de L P ( X P).
4. Convolution d'une mesure et d'une fonction sur un groupe
Soit G un groupe localement compact. Fixons dans les
nos 4 e t 5 une mesure positive p + O sur G, relativement invariante ; soient x et X' ses multiplicateurs A gauche et a droite
(rappelons que X' = xA~). Si p est une mesure sur G et f une
fonction localement p-intégrable sur G, la convolabilité de p
et f et les produits p * f (resp. la convolabilité de f et p et les
produits f * p) se définissent en considérant G comme opérant
sur lui-même gauche (resp. à droite) par translations. Explicitons dans cette situation quelques-uns des resultats précédents :
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1) Soient p une mesure sur G, f une fonction complexe
localement p-intégrable sur X. On suppose vérifiée l'une des
conditions suivantes :
(i) f est continue ;
(ii) f est nulle dans le complémentaire d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts ;
(iii) y est portée par une réunion dénombrable d'ensembles
compacts.