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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 4
V
Mais $ . P = P et par suite g(~-~x)+(s-~)dic;(s) = ( ( x . p) *Pg)(x)
S
localement @-presque partout. Ceci montre que la fonction
x - f(x)(((~. p) * @g)(x)) est essentiellement @-intégrable et que
Ceci démontre la proposition.
Exemples. - 4) On peut prendre f E V(X), g E X ( X ) et
y E W(G) (avec = 1).
5) Si G opère proprement sur X, on peut prendre f E %(X),
g E X ( X ) et y E d ( G ) (avec + = 1).
6) On peut prendre f E LP(X, @), g E LQ(X, P) et p E J P ( G )
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avec 1 < p < + co, -+- = 1, p = ~-'/q. Les conditions (i) et
P
4
(ii) sont satisfaites d'après les prop. 5 et 6. Démontrons (iii).
On a vu que y était portée par un ensemble S réunion dénombrable d'ensembles compacts. On prendra pour + la fonction
caractéristique de S. La fonction h est (y 8 p)-mesurable : en
effet la fonction (s, x) - g(x)x(s-l)+(s) l'est, ainsi que la fonction
(s, x) -+ f ( r l x ) d'après le lemme 1. De plus, g étant nulle hors
d'une réunion dénombrable d'ensembles @-intégrables, h est
nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles (p @ P)intégrables. On a alors (chap. V, $ 8, no 1, prop. 4) :
Mais comme g (resp. +) est nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles intégrables, les intégrales supérieures du
second membre de (9) sont égales aux intégrales supérieures
essentielles (chap. V, 3 2, no 1, prop. 3). Or (chap. V, $ 5 , no 3,
prop. 2) on a