(ii) X . y et g sont convolables et la formule (3) du no 1 (OU
on remplace p par X . 3 et f par g) définit localement p-presque partout un produit de convolution (%. ?) *".
(iii) II existe une fonction $ sur G, localement p-presque
partout égale à 1 , telle que la fonction h(s, x) = ~(x)~(s-~x)~(s-~)+(s)
soit (y 8 p)-intégrable.
Alors les fonctions g(x)((p *@f)(x)) et f(x)(((~.p) &g)(x))
sont essentiellement P-intégrables, et l'on a
En effet, d'aprbs (iii) et le théorème de Lebesgue-Fubini, la
fonction z - g(z) f(~-~x)~(s-~)+(s)dp(s) est (3-intégrable et on a
Mais on a +. p = p et par suite
localement p-presque partout. Ceci montre que la fonction
x - g(x)((p *Pf)(x)) est essentiellement @-intégrable et que
D'autre part, le lemme 1 montre que la fonction
(s, x) : ) g(sx)f(x)~(s-Y$(s) est intégrable pour (x. p) @ P. Donc la
fonction (s, x) : ) g(~-~x)f(x)+(s-~) est intégrable pour
8 (3 et
l'on a
1 = /J WUf (x)b(s-')dWdP(4
BOURBAKI, XXIX