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INTÉGRATION
chap. VIII, 5 4
(i) p et f sont convolables et la formule ( 3 ) du no 1 définit
localement @-presque partout u n produit de convolution p df.
(ii) X . et v sont conuolables.
(iii) L a fonction g(s, x ) = f(s-lx)~(s-l) est ( p @ v)- infégrable.
Alors f est essentiellement intégrable pour (x. p) * v, la fonction
p +Pf définie par ( 3 ) est v-intégrable et l'on a
Puisque g(s, x) est integrable pour p @ v, la fonction f(sx)
est essentiellement intégrable pour (x. p) @J v e t f est essentiellement intégrable pour (x. $) * v. D'après le théorème de LebesgueFubini, p Q f = g(s, x)dp(s) est V-intégrable et l'on a
S
Exemples. - 1) On peut prendre f E V ( X ) , v E V ' ( X ) et
p E V r ( G ) d'après la prop. 3, et le cor. de la prop. 5 du 5 1, no 4.
La formule (7) signifie alors que l'endomorphisme v - + ( ~ . p )
ic v
de V ( X ) est le transposé de l'endomorphisme f - p s f de V ( X ) .
2 ) On peut prendre f E X ( X ) , v E A ( X ) et p E V t ( G )
d'après la prop. 3, la prop. 8 du 5 3, no 2, et la remarque que le
support de la fonction continue q(s, x) rencontre le support
de p @ v suivant un ensemble compact. La formule (7) signifie
alors que l'endomorphisme v - ( x . F) * v de &(X) est le fransposé de l'endomorphisme f - p * f de X ( X ) .
3 ) Si G opère proprement dans X , on peut prendre f E T ( X ) ,
v E V ( X ) et p E d ( G ) d'après la prop. 4 , la prop. 8 du § 3,
no 2, e t la même remarque que dans l'Exemple 2.
PROPOSITION 8. - Soient f et q deux fonctions localement
P-intégrables sur X et soit p E 4 ( G ) . On suppose que :
(i) p et f sont conuolables et la formule (3) du no 1 définit
localement fi-presque partout u n produit de convolution p +b f.