est de base p. On dit alors que f et p. sont convolables relativement à p ; toute densité de ( f .fi) * p. par rapport à @ s'appelle
un produit de convolution de f e t p relativement à P et se note
f *op ou simplement f * p.
Soit Go le groupe opposé à G. Par (s, x) - xs, Go opére à
gauche continûment dans X. Dire que f et y sont convolables
au sens précédent équivaut à dire que y e t f sont convolables
pour Go opérant à gauche dans X ; et les produits de convolution
f *@p. ne sont autres que les produits de convolution p ii;Bf
pour Go opérant à gauche dans X. D'autre part, on a, pour
s E Go, y(s)p = ~ ( s - l , .) .p. Les résultats des no" et 2 se traduisent
alors immédiatement en résultats concernant les produits
f *@y. En particulier :
1) Si s E G et si f est localement pintegrable, f et E, sont
convolables, et l'on a
2) Si f et p sont convolables et si l'une des conditions (i),
(ii), (iii) de la prop. 2 est remplie, alors f *@y est donnée localement P-presque partout par
Nous laissons au lecteur le soin de traduire les autres
énoncés. On notera que, si x est continue, on a
3. Convolution et transposition.
Revenons aux hypothèses et aux notations du début du
no 1, mais supposons de plus que (3 soit relativement invariante
de multiplicateur x ; x est donc une fonction continue sur G.
PROPOSITION 7. - Soient f une fonction localement P-intégrable sur X, v une mesure sur X et p. une mesure sur G. On
suppose que :