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INTÉGRATION
chap. VIII, § 4
On a 11g11. < ( / pllq(s)dl pl(s)) l l f l l . . Appliquant les remarques
précédentes A (fl, on voit que l'application s - E, * If1 de G
dans Lp(X, (3) est pintégrable, donc que, pour toute h E Z(X),
l'application s - (h, c, * (1 f 1 . p)) est p-intégrable. La prop. 7 du
5 1, no 5, prouve alors que p et f .p sont convolables. En outre,
et cette dernikre intégrale est égale à (h, p * (f . P)) d'après la
prop. 7 du $1, no 5 . On voit donc que g est un produit de convolution de p et f. Ce produit de convolution est donné localement
p-presque partout par (3) d'après la prop. 2 e t la Remarque
qui la suit.
Par abus de notation, c'est souvent l'une des fonctions g de
l'énoncé qu'on note pBf, ce qui permet d'écrire
llP*~fllP llPll~*,QllfllP.
Si 2 est dénombrable à l'infini, cette manière d'écrire est d'ailleurs eritiérement justifiée.
COROLLAIRE. - SOUS les hypothèses de la prop. 6, l'application (p, f) + p *Pf définit sur Lp(X, P) une structure de module
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à gauche sur 4"G)
(1 < p < + a ) .
Ceci résulte des prop. 5 et 6 et de I'associativité du produit
de convolution.
Remarque 2. - Soit X un espace localement compact
sur lequel un groupe localement compact G opère à droite
continûment par (x,s) - xs. Soit (3 une mesure positive
sur X. Soit x une fonction > O sur G x X, mesurable
pour toute mesure sur G x X, e t telle que, pour tout s E G,
on ait S(s)p = ~ ( s ,
.).P. Soit f une fonction localement p-intégrable sur X et soit p une mesure sur G. Si f .(3 e t p sont convolables (pour l'application (x, s) - xs de X x G dans X), (f .p) * p