d'où notre assertion. Supposons de plus f E X(X). Soit H une
partie compacte de X telle que ff(y)l < E pour y 4 H. Soit
x 9 KH. On a s-lx 4 H pour s E K, donc
ce qui achève de prouver (iii).
Enfin, si f E X ( X ) , comme E, E A1(X) pour tout x E X,
donc yX(p)f est le produit de convolution p df défini par (3).
PROPOSITION 6. - Supposons x continue et chaque fonction
~ ( s , .) bornée. Soit p(s) = sup ~(s-l, x). Soient p et q deux expoxEX
sants conjugués (1 < p < + a ) . Soient p E R''~ (G) et f E LP(X, P).
Alors :
(i) p et f sont convolables ;
(ii) le produit de convolution p *@f est donné localement
@-presque partout par la formule (3), et est égal localement P-presque
partout à une fonction g E Lp(X, f3) telle que llgllD < Ilpll,liq]lfllD;
(iii) g est égal à l'élément y,(p)f difini par la représentation
continue y, de G dans LP(X, fi).
On a
*
*
IIYx(s)~~~&IPI(s) ( j Q(s)l'qd~P~(s)) II~IIII +
d'après le 3 2, no 5, formule (5). D'autre part, l'application
s -yx(s)f de G dans Lp(X, P) est continue (3 2, prop. 9). Donc
cette application est pintégrable. Soit