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INTÉGRATION
chap. VIII, $ 4
conoolables et p d f est donné localement presque partout par la
formule (3) du no 1. On a p
E Lr(X, P), et Ilp *@film < Ill-~ll~llfll~.
(iii) Si de plus f E VW(X) (resp. Z(X)), la formule (3)
du no 1 définit pour tout x un produit de convolution p @f qui
appartient à V(X) (resp. Z(X)).
(iv) Si f E T ( X ) , alors le produit de convolution p +pf
défini par (3) n'est autre que l'élément y,(p)f défini par la représentation continue y, de G dans X(X).
L'identité ~ ( s t ,
x) = ~ ( s ,
fx)~(t, x) entraîne aussitôt que
p(sf) < p(s)p(f). D'autre part, p est semi-continue inférieurement comme enveloppe supérieure de fonctions continues.
Soit p E AP(G). D'après la prop. 1 du no 1, p e t 1 sont convolables ; la prop. 2
localement p-presque
si If1 < 1, p e t f sont
De plus, p *of est donné localement presque partout par la
formule (3) du no 1, car la condition (iii) de la prop. 2 du no 1
est satisfaite. Ceci entraîne (ii).
Supposons f continue et bornée par 1 en valeur absolue.
Il est clair que les intégrales figurant dans (3) existent pour tout
x E X , Montrons qu'elles dépendent continûment de x. On
peut supposer p 3 O. Soient xo E X et E > O. Soit K une partie
compacte de G telle que
@(s)dp(s) < E. Il existe un voisinage V de x, dans X tel que x E V implique
pour s E K. Alors, pour x E V, on a
INTÉGRATION
chap. VIII, $ 4
conoolables et p d f est donné localement presque partout par la
formule (3) du no 1. On a p
E Lr(X, P), et Ilp *@film < Ill-~ll~llfll~.
(iii) Si de plus f E VW(X) (resp. Z(X)), la formule (3)
du no 1 définit pour tout x un produit de convolution p @f qui
appartient à V(X) (resp. Z(X)).
(iv) Si f E T ( X ) , alors le produit de convolution p +pf
défini par (3) n'est autre que l'élément y,(p)f défini par la représentation continue y, de G dans X(X).
L'identité ~ ( s t ,
x) = ~ ( s ,
fx)~(t, x) entraîne aussitôt que
p(sf) < p(s)p(f). D'autre part, p est semi-continue inférieurement comme enveloppe supérieure de fonctions continues.
Soit p E AP(G). D'après la prop. 1 du no 1, p e t 1 sont convolables ; la prop. 2
localement p-presque
si If1 < 1, p e t f sont
De plus, p *of est donné localement presque partout par la
formule (3) du no 1, car la condition (iii) de la prop. 2 du no 1
est satisfaite. Ceci entraîne (ii).
Supposons f continue et bornée par 1 en valeur absolue.
Il est clair que les intégrales figurant dans (3) existent pour tout
x E X , Montrons qu'elles dépendent continûment de x. On
peut supposer p 3 O. Soient xo E X et E > O. Soit K une partie
compacte de G telle que
@(s)dp(s) < E. Il existe un voisinage V de x, dans X tel que x E V implique
pour s E K. Alors, pour x E V, on a