quel que soit t > O ; la mesure x-ldx est donc une mesure de
Haar sur le groupe multiplicatif RT.
3) Prenons pour G le tore T = RIZ. Soit cp l'application
canonique de R sur T. Pour f E X ( T ) , la fonction f O

continue et périodique de période 1 sur R, et l'intégrale
est indépendante du choix de a E a ; il est immddiat qu'elle
est invariante par translation ; elle définit donc une mesure de
Haar sur T. Par transport de structure, on en déduit que
d f est une mesure de Haar sur le groupe
V f ) = S a i l f(e 3
multiplicatif U des nombres complexes de valeur absolue 1
(Top. gén., chap. V I I I , $ 2, no 1).
PROPOSITION 2. - Soient G un groupe localement compact,
une mesure de Haar à gauche ou à droite sur G. Pour que G
soit discret, il fauf el il suffît que p({e)) > O. Pour que G soit
compacf, il faut et il suffît que p*(G) < + co.
Les conditions sont évidemment nécessaires. Montrons leur
suffisance. Soit V un voisinage compact de e. Si p({e)) > O, V est
un ensemble fini puisque p(V) < + c n ; comme G est séparé,
il est donc discret. Supposons p*(G) < + co, et p invariante à
gauche par exemple. Considérons l'ensemble d des parties finies
(s,, . . ., s , ) de G telles que s,V n s,V = a pour i # j ; on a
donc n 4 p*(G)/p(V). Qn peut donc choisir dans & un élément (s,, . . ., s , ) maximal. Alors, pour tout s E G, il y a un i
tel que SV n siV # a, donc tel que s E siVV-l. Donc G est
réunion des ensembles compacts s,VV-l et est par suite compact.
BOURBAKI, X X I S
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