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INTEGRATION
cliap. VII, $ 1
est continue dans G. Soit g E S. La fonction (s, t) - f(s)g(ts) est
continue a support compact dans G x G. D'après le chap. III,
$ 5, no 1, th. 2, on a
Ceci prouve d'abord que D, rie dépcnd pas de /. Car, si f' E Ai
est telle que p(fl) # O, on a DI. p = Dr,. p, donc D, = Il,,
localement presque partout pour p, donc partout puisque D,
et D,, sont continues et que le support de p est G. l'osons donc
D, = D. La formule (16) donne
La formule (19) s'étend par linéarité aux fonctions / E S
telles que p(f) = O. On a D(e) # O puisque Y # O. Ceci établit
bien la proportionnalité de p et Y.
COROLLAIRE. - Toute mesure invariante à gauche (resp. à
droite) sur G est proportionnelle ù une mesure de Haar à gauche
(resp. à droite).
Exemples. - 1) Sur le groupe additif R, la mesure de
Lebesgue dx est une mesure de I-Iaar (Chap. III, § 2, no 2,
Exemple).
2) Pour toute fonction f E %(Et?),
on a (Fonct. var. réelle,
chap. II, $ 1, formule (13))