puisque p, + cp' L 1. E n appliquant la définition de F, puis
(ii), (iii), et (v), on en conclut
1
(1 + 2 M f + f? : 9) + 2 4 h : 911 -L ((f f f') : g) + ; 4 : 9)
1
et, si l'on a choisi
tel que g[2((f + f') : h) + E] 4 + on
obtient (vii).
Quand V parcourt l'ensemble des voisinages compacts
de e, les S*,(V) forment une base d'un filtre B sur T T . Soit
8 un ultrafiltre sur X f plus fin que B. D'autre part, fixons
f, E 3-T et posons, pour f E X*+ et g E T T
D'après (vi), lim,, 8 Ig(f) = I(f) existe dans l'espace compact
(l/(fo : f), (f : f,,)). D'après (iii), on a I(f + f') I(f) + I(ff).
D'après (vii), on a I(f) + I(fl) 4 I(f + f') + E I ( ~ )
quel que soit
s > O si h est > 1 dans le support de f + f' ; il s'ensuit que
I(f + f') = I(f) + I(fl). D'après le chap. II, $ 2, no 1, prop. 2,
1 se prolonge en une forme linéaire sur X ; cette forme linéaire
est une mesure positive non nulle sur G, invariante à gauche
d'après (i) ; c'est la mesure de Haar à gauche cherchée. Passant au groupe opposé, on en déduit l'existence d'une mesure
de Haar à droite.
B) Unicité. - Soient p une mesure de Haar à gauche,
v une mesure de Haar à droite. Alors V est une mesure de Haar
à gauche. On va montrer que p et V sont proportionnelles. Ceci
prouvera bien que deux mesures de Haar à gauche sont proportionnelles.
Soit f €3- telle que p(f) # O. D'après le lemme 1, la fonction D, définie sur G par