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INTEGRATION
chap. VII, ij 1
Les propriétés (i), (ii), (iii) sont évidentes. Soient f E &",
n
9 E Z z ; si f 4 ciy(si)g avec des ci 2 O, on a
i-1
n
sup f L
cig(sals)
i-1
pour un s E G, donc sup f L
sup g, d'où (iv). Prouvons
n
(v) ; soient f E Z, g, h dans X T ; si f 6 x ciy(si)g et
* ,
i = l
g s
d,y(i,)h (ci 3 O, di 3 0, s i , t j dans G), on a
j =1
f 4
c,d,y(s,t,)h,
donc (f : h) A
cidj =
1, 1
i, i
donc (f : h) L (f : g)(g : h). Si on applique (v) à fo, f, g d'une
part et a f, f,, g d'autre part, on obtient (vi). Enfin, soient f,
f', h dans .X+ avec h(s) > 1 dans le support de f f f', ct soit
1
E > O. Posons F = f + f ' + - di ; les fonctions y, y', qui coïri2
cidenl respectivement avec f/F et f f / F dans le support de f + f'
et qui sont nulles en dehors de celui-ci, appartiennent a AT, ;
pour tout -q > O, il existe un voisinage compact V de e tel
que Icp(s) - cp(t) 1 4 -q et Icpf(s) - yf(t) 1 r-' -q pour s-li E V. Soit
alors g E &'-?(V) ; pour tout s E G, on a cp . y(s)g L (cp(s) +-q) . y(s)g :
en effet, c'est évident aux points où y(s)g s'annule, donc hors
de SV ; et, dans SV, on a cp r cp(s) + -q ; de même,
Ceci posé, soient c,, . . ., c, des nombres 2 O et s,, . . ., s, des
n
éléments de G tels que F r
ciy(s,)g ; on a
i = l
et de même pour f f ; par suite