2. Le théorème d'existence et d'unicité.
DÉFINITION 2. - Soit G u n groupe localement compact. On
appelle mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G une mesure
positive non nulle sur G, invariante a gauche (resp. à droite).
THÉORÈME 1. - Sur tout groupe localement compact, il
existe une mesure de Haar à gauche (resp. à droite), et, à u n
facteur constant près, il n'en existe qu'une.
A) Existence. - Posons X(G) = Y , Y , ( G ) = Z,,
x., = x+ - (O).
Si C est une partie compacte de G , on notera .Tr(C) l'ensemble des f E %$ a support dans C. Pour f E X et g E %$,
il existe des nombres cl, . . ., c, 3 0 et des éléments s,, . . ., s,,
n
de G tels que f L ç ciy(si)g : en effet, il existe unc partie
i = l
ouverte non vide U de G telle que inf g(s) > O, et le support
SEU
de f peut être recouvert par un nombre fini de translatés a
gauche de U. Soit alors ( f : g) la borne inférieure des nombres
n
ç ci pour tous les systèmes (c,, . . . , c,, s,, . . ., s,) de nombres
i = l
n
2 O et d'éléments de G tels que f r h: ciy(si)g. On a :
i = l
(9 (Y($/ : g) = (f : 9)
pour f E Y , g ~ . % " + ,
S E G ;
(ii) (Af : g) = A(f : g)
pour f E X , g ~ . T f ,
h > , O ;
(iii) ( ( f + f') : g) 4 ( f : g) + (1' : g) pour f E Y , f' E Z , g E Z$ ;
(iv) (f : 9) 3 (SuP f)l(sup 9 )
pour f E Z , ~ E Z ? ;
(VI ( f : h ) A ( f : g)(g : h )
pour ~ E . X , ~ E Z : , ~ E X : ;
1
( f - 9 )
(vi) O < y L
( f o . f ) - (fo : 9)
(f : f o ) pour f , f,, g dans X*, ;
(vii) soient f , f', h dans S+ avec h(s) > 1 dans le support de
f + f', et soit E > O ; il existe un voisinage compact V
de e tel que, pour toute g E .%"$(V), on ait