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INTÉGRATION
chap. VII, 3 1
3. Module.
Soit p une mesure de Haar a gauche sur G. Pour tout
s E Gy S(s)p est encore invariante à gauche (no 1, formule ( I l ) ) ,
donc (th. 1 ) il existe un nombre unique A,(s) > O tel que
S(s)p = AG(s)p. E n vertu du th. 1, le nombre A,(s) est indépendant du choix de p.
DÉFINITION 3. - La fonction AG sur G s'appelle le module
de G. Si AG = 1, le groupe G est dit unimodulaire.
On peut dire aussi que p est relativement invariante A
droite de multiplicateur AG. Donc A, est une représentation
continue de G dans RT (no 1, prop. 1).
Remarque. - Si cp est un isomorphisme de G sur un groupe
localement compact G', on a AG$ O cp = A,. E n particulier :
1) Comme z - x-l est un isomorphisme de Cr sur le groupe
opposé GO, on a AGo = Aol.
2) Si cp est un automorphisme de G, on a A, O

Soit s E G. On a :
donc AGI. p = p' est une mesure de Haar à droite. On en
déduit que y(s)pl = (y(s)Aal). p = AG(s)(Agl. p) - AG(s)pl, donc,
pour toute mesure de Haar à droite v, on a y(s)v = A,(s)v.
Puisque est une mesure de Haar à droite, on a = aA,l. p
avec une constante a > O ; on en déduit
p = a ( A ~ l .
p)" = aA,.
= aZy,
donc a = 1 et finalement = Aal. p. On voit de même que
V
v = A,.v. On a donc les résultats suivants :
Formulaire. - Soient G un groupe localement compact,
A son module, p une mesure de Haar à gauche, v une mesure
de Haar à droite.