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INTEGRATION
chap. VIII, 9 4
Q(X) est hypoconfinue relafivement aux parties bornées de d ( G )
et aux parties compacfes de X ( X ) qui sonf contenues dans un
sous-espace X ( X , L) (où L est une parfie compacte variable de X).
On sait que p et f sont convolables ( $ 3, no 2, prop. 8 (ii)),
et il est clair, que les intégrales figurant dans (3) existent pour
tout x E X. Soient K et L deux parties compactes de X. II
existe une partie compacte H de G telle que les relations x E K
et s-lx E L entraînent s G H ; soit cp E X+ (G), telle que cp(s) = 1
pour s E H. On a, pour f E X(X, L) et x E K :
J f (s-lx)x(s-', x)dir(s) = f(s-'x)x(s-', x)ds)dp(s) = ((Y y) *ef)(x)
S
Par suite / f(s-lz)~(s-l, x)dp(s) est fonction continue de x et
définit un produit de convolution p &f E %(X). De plus,
l'application p - cp. p de &(G) dans W(G) est continue pour les
topologies de la convergence compacte. La prop. 3 (iii) entraîne
donc que l'application (p, f) + p &f de &(G) x X ( X , L) dans
W(X) est, pour toute partie compacte L de X, hypocontinue
relativement aux parties compactes de Z ( X , L). En particulier, l'application (p., f) - p. *ef de d ( G ) x X(X) dans V(X)
est séparément continue. Comme S ( X ) est tonnelé, cette application est hypocontinue relativement aux parties bornées de
&(G) (Esp. vecf. top., chap. III, 5 4, no 2, prop. 6).
Remarque 1. - Sous les hypothèses de la prop. 4, l'application p. - p. *Pf de d+(G)dans %'(X) est continue lorsqu'on
munit d + ( G ) de la topologie vague, pour toute f E X(X). En
effet, soient K une partie compacte de X, S le support (compact)
de f ; comme G opère proprement dans X, l'ensemble des
s E G pour lesquels il existe x E K tel que s-lx E S est une partie
compacte L de G (Top. gén., chap. III, 3 e éd., $ 4, no 5, th. 1).
Soient c un nombre > O, dans l'ensemble compact L, p. , un élément de &(G) ; l'ensemble
Wo des mesures p E d + ( G ) telles que
INTEGRATION
chap. VIII, 9 4
Q(X) est hypoconfinue relafivement aux parties bornées de d ( G )
et aux parties compacfes de X ( X ) qui sonf contenues dans un
sous-espace X ( X , L) (où L est une parfie compacte variable de X).
On sait que p et f sont convolables ( $ 3, no 2, prop. 8 (ii)),
et il est clair, que les intégrales figurant dans (3) existent pour
tout x E X. Soient K et L deux parties compactes de X. II
existe une partie compacte H de G telle que les relations x E K
et s-lx E L entraînent s G H ; soit cp E X+ (G), telle que cp(s) = 1
pour s E H. On a, pour f E X(X, L) et x E K :
J f (s-lx)x(s-', x)dir(s) = f(s-'x)x(s-', x)ds)dp(s) = ((Y y) *ef)(x)
S
Par suite / f(s-lz)~(s-l, x)dp(s) est fonction continue de x et
définit un produit de convolution p &f E %(X). De plus,
l'application p - cp. p de &(G) dans W(G) est continue pour les
topologies de la convergence compacte. La prop. 3 (iii) entraîne
donc que l'application (p, f) + p &f de &(G) x X ( X , L) dans
W(X) est, pour toute partie compacte L de X, hypocontinue
relativement aux parties compactes de Z ( X , L). En particulier, l'application (p., f) - p. *ef de d ( G ) x X(X) dans V(X)
est séparément continue. Comme S ( X ) est tonnelé, cette application est hypocontinue relativement aux parties bornées de
&(G) (Esp. vecf. top., chap. III, 5 4, no 2, prop. 6).
Remarque 1. - Sous les hypothèses de la prop. 4, l'application p. - p. *Pf de d+(G)dans %'(X) est continue lorsqu'on
munit d + ( G ) de la topologie vague, pour toute f E X(X). En
effet, soient K une partie compacte de X, S le support (compact)
de f ; comme G opère proprement dans X, l'ensemble des
s E G pour lesquels il existe x E K tel que s-lx E S est une partie
compacte L de G (Top. gén., chap. III, 3 e éd., $ 4, no 5, th. 1).
Soient c un nombre > O, dans l'ensemble compact L, p. , un élément de &(G) ; l'ensemble
Wo des mesures p E d + ( G ) telles que