(i) p et f sont convolables relativement à P.
(ii) L a formule (3) d u no 1 définit pour tout x E X u n produit
de conuolution p df qui est continu et n'est autre que l'élément
y,(p)f défini par la représentation continue y, de G dans %'(X) ; de
plus, l'application ( p , f) - p * B f est hypocontinue relativement aux
parties équicontinues de V'(G) et a u x parfies compactes de %'(X).
(iii) S i de plus f E X ( X ) le produit p * O f de (ii) appartient
à X ( X ) et l'application (p, f ) + p Qf est hypocontinue relativement a u x parties équiconfinues de Vf(G) et a u x parties compactes
de X ( X ) .
On sait que p et f sont convolables (§ 3, no 2, prop. 8 (i)).
D'autre part, avec les notations du 5 2, on a
puisque V(X) est quasi-complet. E n particulier, pour tout x E X,
Ceci, joint a la prop. 2, et au 5 2, no 6 , prouve (ii). Enfin, si
f E -X(X), p * ( f .P) est à support compact (§ 3, no 2, prop. 9),
donc p *Pf E X(X). Considérons la représentation continue U
de G dans le complété %(X)^ obtenue en prolongeant par continuité les opérateurs y,(s) continus dans X ( X ) ( § 2, no 1, Remarque
3). Soit S le support de p. Les fonctions y,(s)f, pour s E S,
ont leur support contenu dans un ensemble compact fixe K.
L'ensemble X ( X , K) est un sous-espace vectoriel complet de
X ( X ) . Donc U(p)f E ,X(X). On voit alors comme précédemment que U(y)f = p &f, et (iii) résulte encore du 2, no 6 .
PROPOSITION 4. - Supposons que G opère proprement dans
X et que x soit continue. Soient p E d ( G ) et f E S(X).
(i) p ef f sont convolables relativement à P.
(ii) L a formule (3) d u no 1 définit pour tout x E X u n produit
de convolution p +@f qui est continu.
(iii) L'application (p, f) - p +Pf de A ( G ) x Z(X) dans