152
INTÉGRATION
chap. VIII, 5 4
la fonction x -+ g(x) = f(s-lx)~(s-l, x)dp(s) étant en outre
S
localement P-intégrable. On voit donc que
(h' p * (f . P D = (h' 9.P)
d'où g = p, Qf.
Supposons maintenant p portée par la réunion S d'une
suite d'ensembles compacts. La fonction
est essentiellement (p @ P)-intégrable, et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts, donc (p @ p)-intégrable. Comme p. = 9,. p, le raisonnement se termine comme
précédemment.
Remarque. - L'hypothèse (iii) de la prop. 2 est satisfaite
notamment quand y est bornée. E n effet, pour tout n > 0,
il existe alors une partie compacte K, de G telle que
(chap. IV, 5 4, no 7), et p est portée par la réunion des K,.
Plus généralement, soit p une fonction semi-continue inférieurement finie > O sur G telle que p(st) < p(s)p(t) ; si p E JP,
l'hypothèse (iii) est satisfaite ; car p. p est bornée, et y est
portée par les mêmes sous-ensembles que p.p puisque, sur
toute partie compacte de G, p est minorée par une constante
> o.
2. Exemples de mesures et de fonctions convolables.
Dans les prop. 3 et 4, Vf(G) et d ( G ) sont munis de la
topologie de la convergence compacte dans V(G) et S ( G ) respectivement.
PROPOSITION 3. - Supposons x continue. Soient p E W'(G)
et f E %?(X). Alors :
INTÉGRATION
chap. VIII, 5 4
la fonction x -+ g(x) = f(s-lx)~(s-l, x)dp(s) étant en outre
S
localement P-intégrable. On voit donc que
(h' p * (f . P D = (h' 9.P)
d'où g = p, Qf.
Supposons maintenant p portée par la réunion S d'une
suite d'ensembles compacts. La fonction
est essentiellement (p @ P)-intégrable, et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts, donc (p @ p)-intégrable. Comme p. = 9,. p, le raisonnement se termine comme
précédemment.
Remarque. - L'hypothèse (iii) de la prop. 2 est satisfaite
notamment quand y est bornée. E n effet, pour tout n > 0,
il existe alors une partie compacte K, de G telle que
(chap. IV, 5 4, no 7), et p est portée par la réunion des K,.
Plus généralement, soit p une fonction semi-continue inférieurement finie > O sur G telle que p(st) < p(s)p(t) ; si p E JP,
l'hypothèse (iii) est satisfaite ; car p. p est bornée, et y est
portée par les mêmes sous-ensembles que p.p puisque, sur
toute partie compacte de G, p est minorée par une constante
> o.
2. Exemples de mesures et de fonctions convolables.
Dans les prop. 3 et 4, Vf(G) et d ( G ) sont munis de la
topologie de la convergence compacte dans V(G) et S ( G ) respectivement.
PROPOSITION 3. - Supposons x continue. Soient p E W'(G)
et f E %?(X). Alors :