en désignant par S le support de h. D'où la proposition.
PROPOSITION 2. - Soient p une mesure sur G, f une fonction complexe localement p-intéyrable sur X. On suppose uérifiée
l'une des conditions suivantes :
(i) f et x sont continues ;
(ii) G opire proprement dans X et f est nulle dans le complémentaire d'une réunion dénom bru hle d'ensembles compacts ;
(iii) p est portée par une réunion dénombrable d'ensembles
compacts.
Si p et f sont convolables, la fonction s - f(s-lx)~(s-l, x) est
essentiellement pintégrable sauf pour un ensemble localement
B-négligeable de valeurs de z, et l'on a localement p-presque partout
Soit h E X ( X ) . Puisque p et f sont convolables, la fonction
(s, x) - h(sx)f(x) est essentiellement (p 8 p)-intégrable. D'après
le lemme 1, la fonction (s, x) - h(x)f(s-lx)x(s-l, z) est essentiellement (p @ p)-intégrable. Sous les hypothèses (i) ou (ii) de
l'énoncé, on en déduit que cette fonction est (p 8 @)-intégrable ;
car, dans le premier cas, elle est continue et on applique la
prop. 2 du chap, V, $ 2, no 1, et dans le second cas, elle est
nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts.
et on applique la prop. 3, loc. cit. D'après le théorème de LebesgueFubini,