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INTEGRATION
chap. V I II, 5 4
Or, la fonction (s, x ) - F(s, x ) ~ ( s ,
x ) est A support compact
et (p @)-mesurable. D'après le chap. V , 5 8 , no 1, prop. 4,
l'égalité précédente prouve que cette fonction est ( p @ P)-intégrable et que
Ceci prouve a la fois les deux assertions du lemme 1.
PROPOSITION 1. - Soient p une mesure sur G, f une fonction complexe localement @-intégrable sur X . Supposons que la
fonction s - f(~-1x)~(s-l, x) soit essentiellement p-intégrable sauf
pour u n ensemble localement @-négligeable de valeurs de x, et que
la fonction x - 1 f(s-lx) lX(s-1, x)d 1 pl(s), définie localement press
que partout pour p, soit localement p-intégrable. Alors p et f sont
convola bles.
On peut supposer f 3 0 et p 3 0. Soit h E X + ( X ) . Il
s'agit de prouver que la fonction (s, x ) - h(sx) est essentiellement intégrable pour p @ ( f . P) = (1 @ f). ( p @ @) (chap. V, § 8,
no 3 , prop. 6), c'est-à-dire que
h(sx)f(x)dp(s)dp(x) < + oo
r *
(chap. V , $ 5 , no 3 , prop. 2) ; il suffira évidemment de prouver
qu'il existe a > O tel que pour toute partie compacte K de G,
on ait
D'après le lemme l ,
Or la fonction ( s , x ) + h ( x ) f ( ~ - l x ) c ~ , ( s ) ~ ( s - ~ ,
x ) est ( p @ p)-mesurable (lemme 1) et a support compact. L'expression précédente
est donc égale (chap. V , $ 8, no 1, prop. 4) à