Soit f une fonction complexe localement P-intégrable sur
X, e t soit p une mesure sur G. Pour' tout s E G, la mesure
y(s)(f .@) est de base P puisque P est quasi-invariante. Donc,
si p et f .@ sont convolables, p * ( f .P) est de base P ( § 3, no 2,
prop. 10).
DÉFINITION 1. - S i p et f . (3 sont convolables, on dit que p
et f sont convolables relativement à P. Toute densité de p + (f .@)
par rapport à p s'appelle u n produit de convolution de p et f relativement à @ et se note p df.
On omet @ quand aucune confusion n'est possible. On
définit de manière analogue la convolution pour plusieurs
mesures sur G et une fonction sur X.
Les différents produits de convolution de p et f sont égaux
localement p-presque partout. Si P est de support X et s'il
existe un produit de convolution de p et P qui soit continu, ce
dernier est déterminé de manière unique ; c'cst lui qu'on appelle
alors le produit de convolution de p et f relativement à P.
Soit s E G e t soit f une fonction complexe localement
P-intégrable sur X. Alors E, et f sont convolables, et on a
donc
localement @-presque partout.
Lemme 1. - Soit p une mesure sur G. Alors x est localement
(p 8 @)-intégrable, et l'image de p 8 @ par l'homéomorphisme
(s, x) -+ (s, s-lx) de G x X sur G x X est X. (p @ P).
On peut supposer p 3 0. Soit F E S + ( G x X ) . On a