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INTÉGRATION
chap. VIII, § 4
nue, il y a d'autre part un voisinage compact U,, de e dans
G tel que sK c V pour tout s E Wo ; la fonction (s, x) - f(sx)
est alors uniformément continue dans Uo x V et il y a donc un
voisinage U c U, de e tel que If(sx) - f(x)l < 4 2 a pour tout
s E U et tout x E V. Pour s E U et y E Wo, on a donc
si W c Wo est le voisinage de p .
,
,
, dans A+(X) formé des mesures
répondent la question.
fj 4. Convolution des mesures et des fonctions.
1. Convolution d'une mesure et d'une fonction.
Soit X un espace localement compact sur lequel un groupe
localement compact G opkre à gauche continûment. Soit p
une mesure positive sur X, quasi-invariante par G. Soit ;5 une
fonction > O sur G x X, mesurable pour toute mesure sur
G x X, e t telle que, pour tout s E G, ~(s-1, .) soit une densité
de y(s)p par rapport à P :
ce qu'on peut écrire, avec les conventions du chap. VII, § 1,
no 1 :
Ces données resteront fixées dans les nos 1, 2 et 3 (exception
faite de la Remarque 2 du no 2).
Rappelons (5 2, no 5) que, si x est continue et si P est de support
X, x est alors un multiplicateur.