Remarques. - 1) Soit A, E V'(G). L'application p. - A, * p.
de A ( X ) dans A ( X ) est vaguement continue. En effet, soit
f E q x ) . o n a o0 * tr, » = J f ( s w ~ s ) d p ( x )
= ( P , g ) en Posant g(x) = f(sx)d$(s). or' g est continue (chap. V I I , § 1,
S
no 1, lemme 1). D'autre part, soient S le support de A, et K celui
de f. Les conditions sx E K et s E S entraînent x E S-1K ; donc
le support de g est contenu dans S-lK, de sorte que g E X ( X ) .
Alors
2) Soit po E A ( X ) . L'application A- A * p ,
, de V f ( G ) dans A ( X )
est continue pour les topologies o(Vf(G), 5?(G)) et o ( A ( X ) , %(X)).
En effet, soit f E %(X). On a ( f , h * po} = ( h , A), en posant
h(s) = f(sx)dh(x), et l'on a h E V ( G ) (chap. VII, § 1, no 1,
S
lemme 1).
PROPOSITION 13. - L'application (s, y)- y(s)y de G x A + ( X )
dans A + ( X ) est continue lorsque l'ensemble A + ( X ) des mesures
positives sur X est muni de la topologie vague.
Comme y(s)p = y(ssgl)y(so)y, il résulte de la Remarque 1
qu'il suffit de prouver la continuité de l'application considérée
en un point de la forme (e,p0) avec po E d + ( X ) . Etant donnés
une fonction f E S ( X ) et un nombre E > O, il s'agit donc de
montrer qu'il existe un voisinage U de e dans G et un voisinage
W de po dans &+(X) tels que les relations s E U, y E W entraînent
Soit V un voisinage compact du support K de f dans X, et
soit cp E X + ( X ) telle que q(x) = 1 dans V ; il existe un voisinage W, de pO dans A+(X) tel que a = sup p.(V) soit fini : il
WW,
suffit de prendre pour Wo l'ensemble des p. E A + ( X ) telles que
I(y, p - p0}I < 1. Comme l'application (s, x ) - sx est conti-
de A ( X ) dans A ( X ) est vaguement continue. En effet, soit
f E q x ) . o n a o0 * tr, » = J f ( s w ~ s ) d p ( x )
= ( P , g ) en Posant g(x) = f(sx)d$(s). or' g est continue (chap. V I I , § 1,
S
no 1, lemme 1). D'autre part, soient S le support de A, et K celui
de f. Les conditions sx E K et s E S entraînent x E S-1K ; donc
le support de g est contenu dans S-lK, de sorte que g E X ( X ) .
Alors
2) Soit po E A ( X ) . L'application A- A * p ,
, de V f ( G ) dans A ( X )
est continue pour les topologies o(Vf(G), 5?(G)) et o ( A ( X ) , %(X)).
En effet, soit f E %(X). On a ( f , h * po} = ( h , A), en posant
h(s) = f(sx)dh(x), et l'on a h E V ( G ) (chap. VII, § 1, no 1,
S
lemme 1).
PROPOSITION 13. - L'application (s, y)- y(s)y de G x A + ( X )
dans A + ( X ) est continue lorsque l'ensemble A + ( X ) des mesures
positives sur X est muni de la topologie vague.
Comme y(s)p = y(ssgl)y(so)y, il résulte de la Remarque 1
qu'il suffit de prouver la continuité de l'application considérée
en un point de la forme (e,p0) avec po E d + ( X ) . Etant donnés
une fonction f E S ( X ) et un nombre E > O, il s'agit donc de
montrer qu'il existe un voisinage U de e dans G et un voisinage
W de po dans &+(X) tels que les relations s E U, y E W entraînent
Soit V un voisinage compact du support K de f dans X, et
soit cp E X + ( X ) telle que q(x) = 1 dans V ; il existe un voisinage W, de pO dans A+(X) tel que a = sup p.(V) soit fini : il
WW,
suffit de prendre pour Wo l'ensemble des p. E A + ( X ) telles que
I(y, p - p0}I < 1. Comme l'application (s, x ) - sx est conti-