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INTEGRATION
chap. VIII, $ 3
d'où (i). Un raisonnement analogue s'applique dans le
cas (ii).
Soit toujours G un groupe localement compact, et supposons que G opère continûment à gauche dans un espace localement compact X. Ceci définit ( 5 2, no 4) une représentation
linéaire continue y de G dans &(X) (muni de la topologie de
la convergence compacte dans S ( X ) ) .
D'après la prop. 7 du 5 1, no 5, on a
Or E, * p = y(s)p (no 2, formule (5)), et
par définition de y(h).
COROLLAIRE. - L'application (A, p)- h * p de W(G) x &(X)
dans J ( X ) est hypocontinue relativement a u x parties équicontinues de V1(G) et aux parties compactes de &(X) (%'(G) ef d ( X )
étant respectivement m u n i s de la topologie de la convergence
compacte dans Y(G) et S ( X ) ) .
E n effet, d ( X ) , muni de la topologie de la convergence
compacte dans X(X), est quasi-complet. Donc l'application
(A, p) -+ y(A)p de Vf(G) x &(X) dans &(X) est hypocontinue
relativement aux parties équicontinues de V'(G) et aux parties
compactes de A ( X ) (5 2, no 6). Il sufit alors d'appliquer la
prop. 12.