Ceci résulte de la prop. 8, et du $ 1, prop. 1, 3, et cor. de
la prop. 5.
PROPOSITION 10. -,Soient p une mesure sur G, v une mesure
sur X, p et v étant convolables. Supposons de plus qu'il existe
une mesure positive 13 sur X telle que y(s)v soit de base P quel que
soit s E G. Alors p + v est de base fi.
Soit K une partie compacte @-négligeable de X. Alors K
est y(s)(vl-négligeable pour tout s E G. Or
( 5 1, no 5, prop. 7), et l'application s - E, * Ivl est vaguement
continue ( $ 2, prop. 6). Donc K est /pl e Ivl-négligeable d'après
le chap. V, $ 3, no 4, th. 1. Donc 1p1 * Ivl est de base P (chap. V,
5 5, no 5, Remarque).
3. Convolution.et représentations linéaires.
PROPOSITION 11. - Soient G un groupe localement compact,
E un espace localement convexe quasi-complet, U une représentation continue de G dans E.
(i) Si A E 4'(G), p E Vr(G), on a U(A * p) = U(A)U(p).
(ii) Supposons que E soit un espace de Banach, et soit
p(s) = IIU(s)ll pour s E G. Si h E AP(G), p E A P ( G ) , on a U ( A * p)
= W ) U ( d .
Soient A, p dans V1(G). Quel que soit x E E, on a, en appliquant notamment les prop. 1 et 4 du chap. VI, $ 1,. no 1
BOURBAKI. XXIX
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